Danh sách câu hỏi

Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố

Đề bài. Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao

Chứng minh rằng A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^60 chia hết cho 3 và 7

Đề bài. Chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + … + 260 chia hết cho 3 và 7.

Chứng minh rằng A = 3^5.n + 2 + 3^5.n + 1 – 3^5.n chia hết cho 11 với mọi n ∈ ℕ

Đề bài. Chứng minh rằng A = 35n + 2 + 35n + 1 – 35n chia hết cho 11 với mọi n ∈ ℕ

Chứng tỏ rằng A = 1 + 4 + 4^2 + … + 4^2021 chia hết cho 21

Đề bài. Chứng tỏ rằng A = 1 + 4 + 42 + … + 42021 chia hết cho 21.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n.(2.n + 7).(7.n + 1) chia hết cho 6

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6

Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Đề bài. Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh: ∆ABH = ∆ACH

Đề bài. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh. a) ∆ABH = ∆ACH b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinC = sin (A + B)

Đề bài. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có. sinC = sin (A + B).

Chứng minh 1−cos2.x/sin2x = tanx

Đề bài. Chứng minh 1-cos⁡2⁢xsin⁡2⁢x=tan⁡x

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Cho biết BC = 4BH. Chứng minh rằng. SB⁢H⁢D=14⁢SB⁢K⁢C.cos2⁡A⁢B⁢D^

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu cùa H lên AB và AC. a) Chứng minh. AM.AB = AN.AC. b) Chứng minh. SA⁢M⁢NSA⁢C⁢B=sin2⁡B.sin2⁡C

Chứng minh rằng: Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2.p + 7

Đề bài. Chứng minh rằng. Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 7 cũng là số nguyên tố thì 4p + 7 là một hợp số.

Chứng tỏ rằng số có dạng số tự nhiên aaa bao giờ cũng chia hết cho 37

Đề bài. Chứng tỏ rằng số có dạng aaa¯ bao giờ cũng chia hết cho 37.

Cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) với B,C

Đề bài. Cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) với B,C là tiếp điểm. OA cắt BC tại DA a) Chứng minh OA là đường trung trực BC. b) Chứng minh OD.DA = BD2 c) Vẽ đường kính BE, AE cắt (O) tại F. Gọi G là trung điểm của EF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh OD.OA = OG.OH d) Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)

Nếu ab chia hết cho c và ƯCLN (a,c) = 1 thì b chia hết cho c

Đề bài. Nếu ab chia hết cho c và ƯCLN (a,c) = 1 thì b chia hết cho c

Chứng minh n^5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Đề bài. Chứng minh n5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O). Tiếp tuyến tại A của (O)

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là trung điểm của AD. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh đẳng thức sau: (sinx + cosx)/sin^3.x = cot^3.x + cot^2.x cotx + 1

Đề bài. Chứng minh đẳng thức sau. (sin⁡x+cos⁡x)sin3⁡x=cot3⁡x+cot2⁡x⁢cot⁡x+1

Có tồn tại hay không một dãy gồm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà các số đó đều là hợp số

Đề bài. Có tồn tại hay không một dãy gồm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà các số đó đều là hợp số?

Chứng minh với a, b dương thì căn a+b < căn a+căn b

Chứng minh biểu thức sau luôn âm với mọi x: –x^2 – 6.x – 15

Đề bài. Chứng minh biểu thức sau luôn âm với mọi x. –x2 – 6x – 15

Chứng minh biểu thức -x^2+2/3.x-1 luôn âm với mọi giá trị của biến

Đề bài. Chứng minh biểu thức - x2+23x-1 luôn âm với mọi giá trị của biến

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, Ab = c, đường phân giác AD

Đề bài. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, Ab = c, đường phân giác AD. 1. Tính độ dài BD, DC. 2. Tia phân giác của góc B cắt AD tại I. Tính tỉ số AI . ID. 3. Cho BC bằng trung bình cộng của AB và AC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG song song BC.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh vecto AB + vecto CD = vecto AD + vecto CB

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh A⁢B→+C⁢D→ =A⁢D→ +C⁢B→

Cho a/b=c/d với a, b, c, d khác 0. Chứng minh a/a-b=c/c-d

Đề bài. Cho ab=cd với a, b, c, d khác 0. Chứng minh aa-b=cc-d

Chứng minh rằng nếu 5.(m + n)^2 + mn ⋮ 441 thì mn ⋮ 441 (m, n ∈ ℤ)

Đề bài. Chứng minh rằng nếu 5(m + n)2 + mn ⋮ 441 thì mn ⋮ 441 (m, n ∈ ℤ)

Chứng minh n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Đề bài. Chứng minh n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau

Đề bài. Chứng minh tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Chứng minh 1−2.sin^2.x/ 1+sin.2x = 1−tanx/1+tanx

Đề bài. Chứng minh 1-2⁢sin2⁡x1+sin⁡2⁢x=1-tan⁡x1+tan⁡x

Chứng minh rằng F = 10^28 + 8 chia hết cho 72

Đề bài. Chứng minh rằng F = 1028 + 8 chia hết cho 72

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B

Đề bài. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng. Tổng 1D⁢I2+1D⁢K2 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Chứng minh 1/65 < 1/5^3 + 1/6^3 + … + 1/2004^3 < 1/40

Đề bài. Chứng minh 165<153+163+.+120043<140

Chứng minh 1/ 2.căn 1 + 1/ 3.căn 2 + 1/ 4 .căn 3 + … + 1/ 2005.căn 2004 < 2

Đề bài. Chứng minh 12⁢1+13⁢2+14⁢3+…+12005⁢2004<2

Tìm các hệ số a, b, c biết: (a.x + b).(x^2 – c.x + 2) = x^3 + x^2 – 2 với mọi x

Đề bài. Tìm các hệ số a, b, c biết. (ax + b)(x2 – cx + 2) = x3 + x2 – 2 với mọi x

Chứng tỏ rằng (2^2022 + 2^2021 + 2^2020) chia hết cho 7

Đề bài. Chứng tỏ rằng (22022 + 22021 + 22020) chia hết cho 7.

Cho x + 3.y – 4 = 0, tính x^3 - x^2 + 9.x^2.y - 9.y^2 + 27.x.y^2 + 27.y^3 - 6.x.y

Đề bài. Cho x + 3y – 4 = 0, tính x3 - x2 + 9x2y - 9y2 + 27xy2 + 27y3 - 6xy

Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của P = (1 + a/x).(1 + a/y).(1 + a/z)

Đề bài. Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của P=(1+ax)⁢(1+ay)⁢(1+az)

Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: (x - y).(y - z).(z – x) = x + y + z

Đề bài. Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn. (x - y)(y - z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.

Cho x + y = 15. Tìm min, max B = căn x − 4 + căn y − 3

Đề bài. Cho x + y = 15. Tìm min, max B=x-4 +y-3

Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x^3 − y^3 − 3.x.y

Đề bài. Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 − y3 − 3xy.

Tìm x, y, z là các số dương biết (x mũ 2 + 1)(y mũ 2 + 4)(z mũ 2 + 9) = 48xyz

Đề bài. Tìm x, y, z là các số dương biết (x2 + 1)(y2 + 4)(z2 + 9) = 48xyz.

Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M thỏa mãn vecto MA − vecto MB + vecto AC + vecto MD

Đề bài. Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M thỏa mãn M⁢A→-M⁢B→ +A⁢C→ +M⁢D→ =C⁢D→.

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác

Đề bài. Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD

Đề bài. Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Điểm F là trung điểm của đoạn thẳng BC

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Điểm F là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm G là trung điểm của đoạn thẳng DC. Điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AD. Hỏi tứ giác EFGH là hình gì? Chứng minh điều đó.

Cho tứ giác ABCD có góc A = 110 độ, góc B = 90 độ , góc C - góc D = 20 độ

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có A ^= 110° , B^ = 90° , C^ − D^ = 20°. Tính C^, D^.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27

Đề bài. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27. a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác GBC.

Cho tứ giác ABCD có góc D + góc C = 90 độ . Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có D^+C^=90∘. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD

Đề bài. Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD. Điểm Q là giao điểm của AC với (MNP). Tính QAQC.

Cho tứ diện ABCD, gọi N và K lần lượt là trung điểm của AD và BC

Đề bài. Cho tứ diện ABCD, gọi N và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. NK là giao tuyến của mặt phẳng (BCA) với mặt phẳng nào?