Chứng minh 1/ 2.căn 1 + 1/ 3.căn 2 + 1/ 4 .căn 3 + … + 1/ 2005.căn 2004 < 2

Đề bài. Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2005\sqrt{2004}}<2$

Trả lời

Với mọi n thuộc ℕ ta có: $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Thật vậy, $1<2(n+1).\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

⇔ $0<(n+1)-2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+n={(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}^2$(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán

$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2005\sqrt{2004}}<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{\sqrt{2004}}-\frac{1}{\sqrt{2005}})$

$=2(1-\frac{1}{\sqrt{2005}})<2$