Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n.(2.n + 7).(7.n + 1) chia hết cho 6

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6

Trả lời

Vì (7n + 1) - n = 6n + 1 là số lẻ nên trong hai số 7n + 1 và n có đúng một số chẵn

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 2 (1)

Xét 3 TH:

+) n = 3k (k ∈ ℕ): Khi đó n ⋮⋮ 3 ⇒⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮⋮ 3

+) n = 3k + 1 (k ∈ ℕ): Khi đó 2n + 7 = 2(3k + 1) + 7 = 6k + 9 ⋮ 3

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3

+) n = 3k + 2 (k ∈ ℕ): Khi đó 7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 15 ⋮ 3

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3

Từ đó suy ra A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A ⋮ 6 (đpcm)