Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của P = (1 + a/x).(1 + a/y).(1 + a/z)

Đề bài. Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của $P=(1+\frac{a}{x})(1+\frac{a}{y})(1+\frac{a}{z})$

Trả lời

$P=(1+\frac{a}{x})(1+\frac{a}{y})(1+\frac{a}{z})=(1+\frac{x+y+z}{x})(1+\frac{x+y+z}{y})(1+\frac{x+y+z}{z})$

$=\frac{(x+x+y+z)(x+y+y+z)(x+y+z+z)}{xyz}\ge \frac{4\sqrt[4]{x^{2}yz}.4\sqrt[4]{y^{2}xz}.4\sqrt[4]{z^{2}xy}}{xyz}=\frac{64xyz}{xyz}=64$

Vậy min P = 64 khi $x=y=z=\frac{a}{3}$