Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Đề bài. Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Trả lời

Lấy D đối xứng với A qua M

Xét tam giác ABM và tam giác CDM ta có:

$\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ (đối đỉnh)

MB = MC

MA = MD

Suy ra: ∆ABM = ∆DCM (c.g.c)

Suy ra: AB = CD và $\widehat{A_1}=\widehat{D_1}$

Mặt khác ta có: $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

⇒ $\widehat{D_1}+\widehat{A_2}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{ACD}={90}^{\circ }$

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

AB = CD

$\widehat{BAC}=\widehat{ACD}={90}^{\circ }$

AC chung

⇒ ∆ABC = ∆CDA (c.g.c)

⇒ BC = AD

Mà theo cách dựng điểm D có: $MA=MD=\frac{1}{2}AD$

Suy ra: $AM=\frac{1}{2}BC$

Vậy trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền.