Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD

Đề bài. Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD. Điểm Q là giao điểm của AC với (MNP). Tính $\frac{QA}{QC}$.

Trả lời

NP là đường trung bình của ∆ACD ⇒ NP // AB, mà AB ⊂ (ABC) ⇒NP // (ABC)

P ∈ (MNP) ∩ (ACD) (1)

Trong mặt phẳng (BCD) gọi J = MN ∩ CD, có

$\{\begin{array}{c}J\in MN\subset (MNP)\\ J\in CD\subset \left(ACD\right)\end{array}$

J ∈ (MNP) ∩ (ACD) (2)

Từ (1) và (2): (MNP) ∩ (ACD) = JP

Trong mặt phẳng (ACD) gọi Q = JP ∩ AC. Có:

$\{\begin{array}{c}Q\in AC\\ Q\in JP\subset \left(MNP\right)\end{array}$

⇒ Q = AC ∩ (MNP). Có:

$\{\begin{array}{c}MQ=(MNP)\cap (ABC)\\ NP//AB; NP\subset \left(MNP\right); AB\subset \left(ABC\right)\end{array}$

⇒MQ // NP // AB

Theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{CQ}{CA}=\frac{CM}{CB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{QA}{QC}=\frac{1}{2}$.