Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B

Đề bài. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: Tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Trả lời

Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $\frac{1}{D{L}^2}+\frac{1}{D{K}^2}=\frac{1}{D{C}^2}$

Vì DI = DL nên $(\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}=\frac{1}{D{C}^2}$

DC không đổi nên tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)