Cho x + y = 15. Tìm min, max B = căn x − 4 + căn y − 3

Đề bài. Cho x + y = 15. Tìm min, max $B=\sqrt{x-4}\mathrm{ }+\sqrt{y-3}$

Trả lời

Áp dụng bất đẳng thức cho a, b > 0 $\sqrt{a}\mathrm{ }+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ ta có:

$B=\sqrt{x-4}\mathrm{ }+\sqrt{y-3}\mathrm{ }\ge \sqrt{x-4+y-3}\mathrm{ }=\sqrt{x+y-7}$

Bình phương 2 vế được: B² ≥ x + y – 7 = 15 – 7 = 8

Suy ra: $B\ge 2\sqrt{2}$

Vậy minB = $2\sqrt{2}$ khi (x;y) = (4;11), (12;3)

Lại có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$B^2={(1.\sqrt{x-4}\mathrm{ }+1.\sqrt{y-3})}^2\le (1+1)(x-4+y-3)=2.(15-7)=16$

Suy ra: maxB = 4

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{array}{c}x\ge 4\\ y⩾3\\ x-4=\sqrt{y-3}\\ x+y=15\end{array}\iff (x;y)=(8;7)$