Chứng minh đẳng thức sau: (sinx + cosx)/sin^3.x = cot^3.x + cot^2.x cotx + 1

Đề bài. Chứng minh đẳng thức sau: $\frac{(\sin x+\cos x)}{{\sin }^{3}x}={\cot }^{3}x+{\cot }^{2}x\cot x+1$

Trả lời

cot³x + cotx + 1 = cot²x(cotx + 1) + (cotx + 1)

= (cotx + 1)(cot²x + 1)

$=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}.\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}.\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{\cos x+\sin x}{{\sin }^{3}x}$

Vậy $\frac{(\sin x+\cos x)}{{\sin }^{3}x}={\cot }^{3}x+{\cot }^{2}x\cot x+1$