Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Cho biết BC = 4BH.

Chứng minh rằng: $S_{BHD}=\frac{1}{4}{S}_{BKC}.{\cos }^2\widehat{ABD}$

Trả lời

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.AB=\frac{1}{2}.AC.AB.1=\frac{1}{2}.AC.AB.\sin {90}^{\circ }Â\mathrm{ }=\frac{1}{2}.AC.AB.\sin \widehat{A}$

$S_{BHD}=\frac{1}{2}.BH.BD.\sin \widehat{DBH}$

$S_{BKC}=\frac{1}{2}.BK.BC.\sin \widehat{KBC}$

$\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}}=\frac{BH.BD}{BK.BC}=\frac{1}{4}.\frac{BD}{BK}=\frac{1}{4}.\frac{B{D}^2}{BK.BD}=\frac{1}{4}.\frac{B{D}^2}{B{A}^2}=\frac{1}{4}.{\cos }^2\widehat{ABD}$