Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây.

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

+) Xét hình vẽ:

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = 2x + 3

⇔ 2x – y + 3 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 2x + 3 thì:

a = 2, b = -1, c = 3.

Vậy a = 2, b = -1, c = 3 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 2x + 3.

+) Xét hình vẽ:

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = -x + 1

⇔ x + y – 1 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = -x + 1 thì:

a = 1, b = 1, c = -1.

Vậy a = 1, b = 1, c = -1 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = -x + 1.

+) Xét hình vẽ:

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = 3

⇔ y – 3 = 0

⇔ 0x + y – 3 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 3 thì:

a = 0, b = 1, c = -3.

Vậy a = 0, b = 1, c = -3 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 3.

+) Xét hình vẽ:

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là x = -2

⇔ x + 2 = 0

⇔ x + 0y + 2 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng x = -2 thì:

a = 1, b = 0, c = 2 .

Vậy a = 1, b = 0, c = 2 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng x = -2.

1. Phương trình đường thẳng

Hoạt động khám phá 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và cho hai vectơ n = (a; b) và u = (-b; a) khác vectơ – không. Cho biết u có giá song song hoặc trùng với ∆.

a) Tính tích vô hướng n.u và nêu nhận xét về phương của hai vectơ nu.

b) Gọi M(x; y) là điểm di động trên ∆. Chứng tỏ rằng vectơ M0M luôn cùng phương với vectơ u và luôn vuông góc với vectơ n.

Hoạt động khám phá 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

a) Ta có: n.u = a.(-b) + b.a = 0.

Do đó nu.

Vậy hai vectơ nu có phương vuông góc với nhau.

b) Vì u có giá song song hoặc trùng với ∆ mà M0M trùng với ∆ nên u có giá song song hoặc trùng với M0M.

Do đó u cùng phương với M0M.

c) Từ ý b) ta có u cùng phương với M0M

Mặt khác vectơ u vuông góc với vectơ n nên u vuông góc với M0M.

Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận u = (u1; u2) làm VTCP. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc ∆, tìm tọa độ điểm M theo tọa độ M0 và u.

Lời giải:

Ta có M0M(x – x0; y – y0)

Vì u là VTCP của đường thẳng ∆ nên vectơ M0M và u cùng phương.

Khi đó ta có: Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

⇔ Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy M(x0 + ku1; y0 + ku2).

Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận vectơ v = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm tọa độ P trên ∆, biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận vectơ v = (8; -4) làm vectơ chỉ phương là: Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

b)

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vì P ∈ ∆ nên tọa độ điểm P là P(2 – 3t; 7 + 5t).

Ta lại có tung độ của điểm P bằng 1 nên 7 + 5t = 1

⇔ 5t = 1 – 7

⇔ 5t = -6

⇔ t = 65

⇒ P = 23.65;7+5.65=285;1.

Vậy P285;1.

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Một trò chơi đua xe ô tô vượt xa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc v = (40; 30).

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d và biểu diễn đường đi của ô tô.

b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2 và t = 4.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1) và nhận vectơ vận tốc v(40; 30) làm VTPT. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

b) Với t = 2, tọa độ của xe là: Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Với t = 4, tọa độ của xe là: Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy với t = 2 thì tọa độ của xe là (81; 61), với t = 4 thì tọa độ của xe là (161; 121).

Hoạt động khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận n(a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc ∆, chứng tỏ rằng điểm M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0 hay ax + by + c = 0 (với c = – ax0 – by0).

Lời giải:

Vì đường thẳng ∆ nhận n(a; b) làm vectơ pháp tuyến nên nhận u(-b; a) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

Hoạt động khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

⇒ xx0b=yy0a=t

xx0b=yy0a=t

⇔ -a(x – x0) = b(y – y0)

⇔ a(x – x0) + b(y – y0) = 0

⇔ ax + by – ax0 – by0 = 0 (*)

Đặt c = – ax0 – by0 thì (*) ⇔ ax + by + c = 0.

Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 5);

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u = (2; -7);

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3).

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 5) là:

3(x – 1) + 5(y – 1) = 0

⇔ 3x – 3 + 5y – 5 = 0

⇔ 3x + 5y – 8 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến của ∆ là n = (3; 5) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u = (-5; 3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ chỉ phương u = (-5; 3) là: Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 5y – 8 = 0 và phương tình tham số là Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

b) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u = (2; -7) là: Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u = (2; -7) nên vectơ pháp tuyến n = (7; 2). Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ pháp tuyến n = (7; 2) là:

7(x – 0) + 2(y – 0) = 0

⇔ 7x + 2y = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 7x + 2y = 0 và phương trình tham số là Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

c) Ta có MN(-4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và nhận vectơ chỉ phương là MN(-4; 3) là: Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là MN(-4; 3) do đó vectơ pháp tuyến là n(3; 4).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 4) là:

3(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 3x + 4y – 12 = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 4y – 12 = 0 và phương trình tham số là Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định được một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v = (3; -4).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biểu diễn đường đi của điểm M.

b) Tìm tọa độ của điểm M khi ∆ cắt trục hoành.

Lời giải:

a) Vì điểm M chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v = (3; -4) và đường đi của điểm M là đường thẳng ∆. Do đó v = (3; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Suy ra vectơ pháp tuyến ∆ là n = (4; 3).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận n = (4; 3) làm VTPT là:

4(x – 1) + 3(y – 2) = 0

⇔ 4x + 3y – 10 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4x + 3y – 10 = 0.

b) Phương trình trục hoành là: y = 0.

Ta có M là giao điểm của ∆ và trục hoành nên điểm M thuộc trục hoành và thuộc đường thẳng ∆.

Vì M thuộc vào trục hoành nên gọi tọa độ điểm M là M(xM; 0).

Mà M cũng thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆ ta có:

4xM + 3.0 – 10 = 0

⇔ 4xM = 10

⇔ xM = 52.

Vậy tọa độ điểm M là M52;0.

Thực hành 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2.

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 5) là 3x + 5y – 8 = 0.

Khi đó ta có thể viết:

3x + 5y – 8 = 0

⇔ 5y = – 3x + 8

⇔ y = 35x + 85

Vậy đường thẳng ∆ đã cho là đồ thị của hàm bậc nhất y = 35x + 85 có hệ số góc k = 35.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ pháp tuyến n = (7; 2) là: 7x + 2y = 0.

Khi đó ta có thể viết:

7x + 2y = 0

⇔ 2y = –7x

⇔ y = 72x

Vậy đường thẳng ∆ đã cho là đồ thị của hàm số bậc nhất y = 72x với hệ số góc k = 72.

c) Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 4) là: 3x + 4y – 12 = 0.

Khi đó ta có thể viết:

3x + 4y – 12 = 0

⇔ 4y = –3x + 12

⇔ y = 34x + 3

Vậy đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm bậc nhất y = 34x + 3 có hệ số góc k = 34.

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m3/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m3 nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b) Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

a) Sau x giờ, lượng nước chảy vào bể là: 2x (m3).

Vì trong bể có sẵn 5m3 nước nên sau x giờ thể tích nước y có trong bể là: y = 5 + 2x (m3).

Vậy biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ là: y = 2x + 5.

b) Ta có: y = f(x) = 2x + 5.

Chọn x = 0 ⇒ y = 5. Ta có điểm A(0; 5).

Chọn x = -1 ⇒ y = 3. Ta có điểm B(-1; 3).

Đồ thị d của hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Ta có hình vẽ:

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất của đường thẳng d là: y = 2x + 5

⇔ - 2x + y – 5 = 0

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng d là: - 2x + y – 5 = 0.

Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến của d là n(-2; 1). Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u(1; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(0; 5) nhận u(1; 2) làm VTCP là: Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy phương trình tổng quát và phương trình tham số lần lượt là - 2x + y – 5 = 0 và Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hoạt động khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vec tơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2.

Hoạt động khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa ∆1 và ∆2 trong các trường hợp sau:

a) n1 và n2 cùng phương (Hình 5a, b);

b) n1 và n2 không cùng phương (Hình 5c, d);

c) n1 và n2 vuông góc (Hình 5d).

Lời giải:

a) Ta có n1 và n2 cùng phương nên n1 và n2 có giá song song hoặc trùng nhau.

Mà n1 ⊥ ∆1 và n2 ⊥ ∆2 nên ∆1 // ∆2 hoặc ∆1 trùng ∆2.

Vậy ∆1 // ∆2 hoặc ∆1 trùng ∆2.

b) Ta có n1 và n2 không cùng phương suy ra n1 và n2 cắt nhau nên ∆1 và ∆2 cắt nhau.

c) Ta có n1 và n2 vuông góc với nhau

Mà n1 ⊥ ∆1 và n2 ⊥ ∆2 nên ∆1 vuông góc với ∆2..

Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:

a) d1: x – 5y + 9 = 0 và d2: 10x + 2y + 7 = 10;

b) Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

c) Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

a) Ta có d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1(1; -5) và n2(10; 2)

Ta lại có: n1.n2 = a1a2 – b1b2 = 1.10 + 2.(-5) = 0, suy ra n1 ⊥ n2 .

Do đó d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

b) Vec tơ chỉ phương của d2 là u2(4;3)

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2(-3; 4).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1(3; -4).

Ta có: a1b2 – b1a2 = (-3).(-4) – 3.4 = 0. Suy ra hai vectơ n1 và n2 cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d2, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d1 ta được: 3.1 – 4.1 + 9 = 8 ≠ 0, suy ra M không thuộc d1.

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song.

c) Đường thẳng d1 và d2 lần lượt có vec tơ chỉ phương là u1(4; 3) và u2(8; 6).

Ta có: a1b2 – b1a2 = 4.6 – 3.8 = 24 – 24 = 0. Suy ra hai vectơ u1 và u2 cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d2, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d1 ta được:Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10, suy ra M thuộc d1.

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường thẳng d1:

a) Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d2: x + 3y + 2 = 0;

b) Đi qua điểm B(4; -1) và vuông góc với đường thẳng d3: 3x – y + 1 = 0.

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2(1; 3).

Vì đường thẳng dsong song với đường thẳng d2 nên vectơ pháp tuyến của dcũng là vectơ pháp tuyến của d1. Khi đó phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm A(2; 3) và nhận n2(1; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x – 2) + 3(y – 3) = 0 ⇔ x + 3y – 11 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d1 là: x + 3y – 11 = 0.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d3 là n3(3; -1).

Vì đường thẳng dvuông góc với đường thẳng d3 nên vectơ pháp tuyến của d3 là vectơ chỉ phương của d1. Khi đó phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm B(4; -1) và nhận n3(3; -1) làm vectơ chỉ phương là: .

Vậy phương trình đường thẳng d1 là: Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

3. Góc giữa hai đường thẳng

Hoạt động khám phá 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết xOz^=38°(Hình 6). Tính số đo các góc xOt^,tOy^ và yOz^.

Hoạt động khám phá 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

Ta có: xOt^+xOz^=tOz^ (hai góc kề bù)

⇔ xOt^+38°=180°

⇔ xOt^=180°38°

⇔ xOt^=142°.

Ta có hai góc xOz^ và tOy^ là hai góc đối đỉnh nên ta có xOz^=tOy^=38°.

Ta lại có hai góc xOt^ và yOz^ là hai góc đối đỉnh nên ta có xOt^=yOz^=142°.

Vậy xOt^=yOz^=142° và tOy^=38°.

Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng: ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 a12+b12>0> và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 a22+b22>0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2. Tìm tọa độ của n1 và n2 và tính cosn1,n2.

Lời giải:

Đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1(a1; b1) ⇒Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến là n2(a2; b2) ⇒Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Ta có: n1.n2 = a1.a2 + b1.b2

Khi đó cosn1,n2 = a1a2+b1.b2a12+b12.a22+b22.

Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong các trường hợp sau:

a) ∆1: x + 3y – 7 = 0 và ∆2: x – 2y + 3 = 0;

b) Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

c) Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆1: x + 3y – 7 = 0 có VTPT là n1 = (1; 3).

Đường thẳng ∆2: x – 2y + 3 = 0 có VTPT là n2 = (1; -2).

Ta có: cos(∆1; ∆2)

= cosThực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Suy ra (∆1; ∆2) = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là 45°.

b) Đường thẳng ∆1: 4x – 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1(4; -2)

Đường thẳng ∆2:Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10 có vectơ chỉ phương u2(1; 2) hay vectơ pháp tuyến là n2(2; -1).

Ta có: a1.b2 – a2.b1 =4.(-1) – (-2).2 = 0. Do đó hai vectơ n1 và n2 cùng phương.

Suy ra (∆1; ∆2) = 0°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là 0°.

c) Đường thẳng ∆1Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10có vectơ chỉ phương là u1(1; 2)

Đường thẳng ∆2Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10có vectơ chỉ phương là u2(2; -1)

Ta có: u1.u2=1.2+2.1=0. Do đó hai vectơ u1 và u2 vuông góc.

Suy ra (∆1; ∆2) = 90°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là 90°.

Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số y = x và y = 2x + 1.

Lời giải:

Gọi đường thẳng d: y = x ⇔ -x + y = 0. Khi đó vectơ pháp tuyến là n1(-1; 1).

Gọi đường thẳng d’: y = 2x + 1 ⇔ - 2x + y – 1 = 0. Khi đó vectơ pháp tuyến là n2(-2; 1).

Khi đó cos(d; d’) = Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Suy ra (d; d’) = 18,43°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d và d’ là 18,43°.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) có vectơ pháp tuyến n và cho điểm M0(x0; y0) có hình chiếu vuông góc H(xH; yH) trên ∆ (Hình 9).

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

a) Chứng minh rằng hai vectơ n và HM0 cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ n và HM0. Chứng minh rằng p = ax0 + by0 + c.

c) Giải thích công thức Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

a) Do n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên n⊥∆.

Ta lại có H là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ nên MH ⊥∆.

Suy ra n// HM0(cùng vuông góc với ∆)

Do đó hai vectơ nvà HM0 cùng phương.

Vì n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên tọa độ của vectơ pháp tuyến là n(a; b).

Ta có HM0 = (x0 – xH; y0 – yH).

b) Ta có: n.HM0=ax0xH+by0yH = ax0 – axH + by0 – byH = ax0 + by0 – axH – byH .

Vì điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên thay tọa độ điểm H vào phương trình ∆ ta được:

– axH – byH = c ⇔ – axH – byH = c.

Khi đó n.HM0= ax0 + by0 + c với c = – axH – byH.

Vậy p = ax0 + by0 + c.

c) Vì hai vectơ n và HM0 cùng phương nên góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 0° hoặc bằng 180°.

TH1. Góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 0°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

TH2. Góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 180°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

+) Ta có: AB(4; 1)

Đường thẳng AB nhận AB(4; 1) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là nAB(1; -4). Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

+) Ta có:AC(3; 3)

Đường thẳng AC nhận AC(3; 3) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là nAC(1; -1). Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

+) Ta có: BC(-1; 2)

Đường thẳng BC nhận BC(-1; 2) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là nBC(2; 1). Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: 95;32;917.

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 4x − 3y + 2 = 0 và d2: 4x − 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d1: 4x − 3y + 2 = 0 và d2: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là : n  = (4 ; −3)

Suy ra d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4)  d2. Thay tọa độ của A vào d1 ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0  A  d1.

Vậy d1 và d2 song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d1 chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Ta có d(A, d1) = |4.03.4+2|42+(3)2  = 105  = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 2.

Bài tập

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương u = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là n = (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có u  = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận n  = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận u = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: x=1+2ty=5+t

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận n   = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(1) −2(− 5) = 0  − 211 0

Vậy phương trình tham số của d là  x=1+2ty=5+t; phương trình tổng quát của d là − 211 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận n  = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(− 4) − 2(2) = 0  3− 2– 16 0.

Ta có n = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận u  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận u = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: x=4+2ty=2+3t

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3− 2– 16 0; phương trình tham số là x=4+2ty=2+3t

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b  = 3 

 Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3  2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận  n = (2; 1) là vectơ pháp tuyến  u  = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

 Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận u = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: x=1+ty=12t

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là x=1+ty=12t

d) Ta có: QR = (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d  d nhận n = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận QR = (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận n = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(− 3) + 3(− 0) = 0  23– 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 23– 0; phương trình tham số là x=33ty=2t .

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

a) Ta có  BC = (4; 2)  đường thẳng BC nhận n = (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận n = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(− 1) − 4(− 2)  = 0  2− 40  − 20.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là − 20.

b) Ta có M là trung điểm của BC  M( 1+522+42  M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận AM = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: x=2+ty=52t

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là: x=2+ty=52t .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận BC = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x  2) + 2(y  5) = 0  4x + 2y  18 = 0  2x + y  9 = 0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x + y  9 = 0.

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) Δ đi qua B(−1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2– – 0.

Lời giải:

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận n = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  u = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

 Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận n = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(− 2) + 1(− 1) = 0   3– 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận u = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: x=2+ty=13t .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3– 0; phương trình tham số của Δ là x=2+ty=13t .

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận  u = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và n = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

 Phương  trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận n = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:  1(+  1)  + 2(− 4) = 0   2– 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận u = (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: x=1+2ty=4t .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 2– 0; phương trình tham số của Δ là x=1+2ty=4t .

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

a) d1: x − y + 2 = 0 và d2x + y + 4 = 0

b) d1x=1+2ty=3+5t  và d25x  2y  + 9 = 0

c) d1 x=2ty=5+3t và d23x + y  11 = 0.

Lời giải:

a) Ta có d1 và d2 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; −1) và n2 = (1; 1).

Ta có: n1 . n2 = 1. 1 + 1. (−1) = 0   n1  n2. Do đó d1  d2.

Tọa độ M là giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:

xy+2=0x+y+4=0   x=3y=1   M(−3; −1).

Vậy d1 vuông góc với d2 và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có u1 = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d1  n1 = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d1.

Ta có : n2 = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d2.

Ta có: n1 n2 . Do đó, d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3)  d1, thay tọa độ của M vào phương trình d2, ta được:

5. 1 − 2. 3 + 9 = 0  8 = 0 (vô lí)

 M  d2

Vậy d1 // d2.

c) Ta có u1  = (−1; 3) là vectơ chỉ phương của d1  n1  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d1.

Ta có: n2 = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d2.

Ta có: n1 n2 . Do đó, d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5)  d1, thay tọa độ của N vào phương trình d2, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0.

 N  d2.     

Vậy d1 trùng d2.       

Bài tập 5 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số x=2ty=5+3t. Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:  x=2ty=5+3t  x=2+53=113t=53  ⇒ x=113y=0

 A113;0

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: 0=2ty=5+3t ⇔ t=2y=11

⇒ x=0y=11

 B(0; 11).

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  A113;0 và  B(0; 11).

Bài tập 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:

a) d1: x − 2y + 3 = 0 và d23x  y  11 = 0;

b) d1x=ty=3+5t và d2x + 5y  5 = ;

c) d1x=3+2ty=7+4t và d2x=t'y=9+2t' .

Lời giải:

a) d1: x − 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n1  =(1 ; −2) ; d23− − 11 0 có vectơ pháp tuyến n2=(3; −1).

Khi đó cos(d1d­2) = n1.n2n1.n2 = 1.3+(2).(1)12+(2)2.32+(1)2 12

 (d1d2) = 45°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 45°.

b) d1x=ty=3+5t  có vectơ chỉ phương u1  = (1; 5) nên vectơ pháp tuyến n1  = (5; −1).

d2x + 5y  5 =  có vectơ pháp tuyến n2 = (1; 5)

Ta có: n1 n2  = 5. 1 + (−1). 5 = 0   n1  n2   (d1d2) = 90°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 90°.

c) Hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1  = (2; 4) và  u2 = (1; 2).

Ta có: u1  = 2u2    u1 và u2  cùng phương.

 d1 và d2 song song hoặc trùng nhau

 (d1d2) = 0°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 0°.

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) M(1; 2) và Δ3x  4y + 12 = 0;       

b) M(4; 4) và Δx=ty=t ;

c) M(0; 5) và Δx=ty=194

d) M(0; 0) và Δ3x + 4y  25 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: d(M; Δ) = 3.14.2+1232+(4)2 = 75 .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 75 .

b) Δx=ty=t đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương u =(1; −1) nên nhận vectơ n =(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

 Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận n= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 0

d(M; Δ) = 4+412+12 = 82

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 82 .

c) Δ x=ty=194 đi qua điểm A(0; 194 ) có vectơ chỉ phương u  = (1; 0) nên nhận vectơ n  = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; 194 và nhận n = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(− 0) + (y + 194 ) = 0  194  0.

d(M; Δ) =  5+19402+12 = 394

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 394 .

d) Đường thẳng Δ34– 25 0 nhận n  = (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó  d(M; Δ) = 3.0+4.02532+42  = 255  = 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.

Bài tập 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ3x + 4y  10 = 0

Δ6x + 8y  1 = 0.

Lời giải:

Δ34y  10 = 0 có n  = (3; 4) là vectơ pháp tuyến.

Δ68y  1 = 0 có n'  = (68) là vectơ pháp tuyến.

Ta có: 36=48=12  nên n  và n'  cùng phương.

Suy ra Δ và  Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; 1)  Δ, thay tọa độ điểm M vào Δ′ ta có:

6.2 + 8.1 – 1 = 0  19 = 0 (vô lý).

 M  Δ′.

Do đó Δ // Δ′.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là khoảng cách từ điểm M đến Δ′.

 d(ΔΔ) = d(M, Δ) = |6.2+8.11|62+82 1910  = 1,9.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 1,9.

Bài tập 9 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d: 12− 516 0. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Lời giải:

Đường thẳng d: 12− 516 0 có vectơ pháp uyến là n  = (12; −5).

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Ta có: d(M; d) = |12.55.10+16|122+(5)2  = 2613  = 2.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài tập 10 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(−1; 1), B(9; 6), C(5; −3) là ba vị trí trên màn hình.

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Lời giải:

a) Ta có: AB = (10; 5), AC = (6; −4), BC = (−4; −9).

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  AB làm vectơ chỉ phương nên nhận n1 = (5; −10) là vectơ pháp tuyến là:  

5(1) − 10(− 1) = 0  5− 1015 0  − 20.

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  AC làm vectơ chỉ phương nên nhận n2 = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là: 

4(1) + 6(− 1) = 0  46– 0  23– 0.

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận BC  làm vectơ chỉ phương nên nhận n3 = (9; −4) là vectơ pháp tuyến là: 

9(− 9) − 4(− 6) = 0  9− 4– 57 0.

Vậy phương trình của các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt là: 10− 20; 23– 0; 9− 4– 57 0.

b) Ta có: AB . AC = 10.6 + 5.(−4) = 40;

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là 7097 .

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Câu hỏi liên quan

a) Vậy phương trình đường thẳng d1 là: x + 3y – 11 = 0.
Xem thêm
a) Ta có vecto HMo = (x0 – xH; y0 – yH).
Xem thêm
a) Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là  7/5
Xem thêm
a) Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là 45°.
Xem thêm
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 2.
Xem thêm
a) Do đó d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Xem thêm
a) Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4x + 3y – 10 = 0.
Xem thêm
a) Vậy phương trình của các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt là: 10x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y – 1 = 0; 9x − 4y – 57 = 0.
Xem thêm
a) Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.
Xem thêm
a) Vậy biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ là: y = 2x + 5.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!