Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Giải Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây.

Lời giải:

+) Xét hình vẽ:

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = 2x + 3

⇔ 2x – y + 3 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 2x + 3 thì:

a = 2, b = -1, c = 3.

Vậy a = 2, b = -1, c = 3 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 2x + 3.

+) Xét hình vẽ:

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = -x + 1

⇔ x + y – 1 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = -x + 1 thì:

a = 1, b = 1, c = -1.

Vậy a = 1, b = 1, c = -1 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = -x + 1.

+) Xét hình vẽ:

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là y = 3

⇔ y – 3 = 0

⇔ 0x + y – 3 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 3 thì:

a = 0, b = 1, c = -3.

Vậy a = 0, b = 1, c = -3 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng y = 3.

+) Xét hình vẽ:

Ta có phương trình đường thẳng trong hình trên là x = -2

⇔ x + 2 = 0

⇔ x + 0y + 2 = 0

Để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng x = -2 thì:

a = 1, b = 0, c = 2 .

Vậy a = 1, b = 0, c = 2 thì phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được đường thẳng x = -2.

1. Phương trình đường thẳng

Hoạt động khám phá 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và cho hai vectơ $\overrightarrow{n}$ = (a; b) và $\overrightarrow{u}$ = (-b; a) khác vectơ – không. Cho biết $\overrightarrow{u}$ có giá song song hoặc trùng với ∆.

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n}$.$\overrightarrow{u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{u}$.

b) Gọi M(x; y) là điểm di động trên ∆. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}$ = a.(-b) + b.a = 0.

Do đó $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{u}$ có phương vuông góc với nhau.

b) Vì $\overrightarrow{u}$ có giá song song hoặc trùng với ∆ mà $\overrightarrow{M_{0}M}$ trùng với ∆ nên $\overrightarrow{u}$ có giá song song hoặc trùng với $\overrightarrow{M_{0}M}$.

Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{M_{0}M}$.

c) Từ ý b) ta có $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{M_{0}M}$

Mặt khác vectơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{M_{0}M}$.

Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (u₁; u₂) làm VTCP. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc ∆, tìm tọa độ điểm M theo tọa độ M₀ và $\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{M_{0}M}$(x – x₀; y – y₀)

Vì $\overrightarrow{u}$ là VTCP của đường thẳng ∆ nên vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương.

Khi đó ta có: 

⇔ 

Vậy M(x₀ + ku₁; y₀ + ku₂).

Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow{v}$ = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm tọa độ P trên ∆, biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow{v}$ = (8; -4) làm vectơ chỉ phương là: 

b)

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là 

Vì P ∈ ∆ nên tọa độ điểm P là P(2 – 3t; 7 + 5t).

Ta lại có tung độ của điểm P bằng 1 nên 7 + 5t = 1

⇔ 5t = 1 – 7

⇔ 5t = -6

⇔ t = $-\frac{6}{5}$

⇒ P = $\left(2-3.\left(-\frac{6}{5}\right);7+5.\left(-\frac{6}{5}\right)\right)=\left(\frac{28}{5};1\right)$.

Vậy P$\left(\frac{28}{5};1\right)$.

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Một trò chơi đua xe ô tô vượt xa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (40; 30).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d và biểu diễn đường đi của ô tô.

b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2 và t = 4.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1) và nhận vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$(40; 30) làm VTPT. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: 

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 

b) Với t = 2, tọa độ của xe là: 

Với t = 4, tọa độ của xe là: 

Vậy với t = 2 thì tọa độ của xe là (81; 61), với t = 4 thì tọa độ của xe là (161; 121).

Hoạt động khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và nhận $\overrightarrow{n}$(a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc ∆, chứng tỏ rằng điểm M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình:

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 hay ax + by + c = 0 (với c = – ax₀ – by₀).

Lời giải:

Vì đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{n}$(a; b) làm vectơ pháp tuyến nên nhận $\overrightarrow{u}$(-b; a) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

⇒ $-\frac{x-x_0}{b}=\frac{y-y_0}{a}=t$

⇔$-\frac{x-x_0}{b}=\frac{y-y_0}{a}=t$

⇔ -a(x – x₀) = b(y – y₀)

⇔ a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0

⇔ ax + by – ax₀ – by₀ = 0 (*)

Đặt c = – ax₀ – by₀ thì (*) ⇔ ax + by + c = 0.

Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5);

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; -7);

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3).

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) là:

3(x – 1) + 5(y – 1) = 0

⇔ 3x – 3 + 5y – 5 = 0

⇔ 3x + 5y – 8 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến của ∆ là $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u}$ = (-5; 3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (-5; 3) là: 

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 5y – 8 = 0 và phương tình tham số là 

b) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; -7) là: 

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u}$ = (2; -7) nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (7; 2). Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (7; 2) là:

7(x – 0) + 2(y – 0) = 0

⇔ 7x + 2y = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 7x + 2y = 0 và phương trình tham số là 

c) Ta có $\overrightarrow{MN}$(-4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và nhận vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}$(-4; 3) là: 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{MN}$(-4; 3) do đó vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(3; 4).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4) là:

3(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 3x + 4y – 12 = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 4y – 12 = 0 và phương trình tham số là 

Vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định được một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (3; -4).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biểu diễn đường đi của điểm M.

b) Tìm tọa độ của điểm M khi ∆ cắt trục hoành.

Lời giải:

a) Vì điểm M chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (3; -4) và đường đi của điểm M là đường thẳng ∆. Do đó $\overrightarrow{v}$ = (3; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Suy ra vectơ pháp tuyến ∆ là $\overrightarrow{n}$ = (4; 3).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (4; 3) làm VTPT là:

4(x – 1) + 3(y – 2) = 0

⇔ 4x + 3y – 10 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4x + 3y – 10 = 0.

b) Phương trình trục hoành là: y = 0.

Ta có M là giao điểm của ∆ và trục hoành nên điểm M thuộc trục hoành và thuộc đường thẳng ∆.

Vì M thuộc vào trục hoành nên gọi tọa độ điểm M là M(x_M; 0).

Mà M cũng thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆ ta có:

4x_M + 3.0 – 10 = 0

⇔ 4x_M = 10

⇔ x_M = $\frac{5}{2}$.

Vậy tọa độ điểm M là M$\left(\frac{5}{2};0\right)$.

Thực hành 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2.

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) là 3x + 5y – 8 = 0.

Khi đó ta có thể viết:

3x + 5y – 8 = 0

⇔ 5y = – 3x + 8

⇔ y = $-\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$

Vậy đường thẳng ∆ đã cho là đồ thị của hàm bậc nhất y = $-\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$ có hệ số góc k = $-\frac{3}{5}$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (7; 2) là: 7x + 2y = 0.

Khi đó ta có thể viết:

7x + 2y = 0

⇔ 2y = –7x

⇔ y = $-\frac{7}{2}$x

Vậy đường thẳng ∆ đã cho là đồ thị của hàm số bậc nhất y = $-\frac{7}{2}$x với hệ số góc k = $-\frac{7}{2}$.

c) Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4) là: 3x + 4y – 12 = 0.

Khi đó ta có thể viết:

3x + 4y – 12 = 0

⇔ 4y = –3x + 12

⇔ y = $-\frac{3}{4}$x + 3

Vậy đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm bậc nhất y = $-\frac{3}{4}$x + 3 có hệ số góc k = $-\frac{3}{4}$.

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m³ nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b) Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

a) Sau x giờ, lượng nước chảy vào bể là: 2x (m³).

Vì trong bể có sẵn 5m³ nước nên sau x giờ thể tích nước y có trong bể là: y = 5 + 2x (m³).

Vậy biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ là: y = 2x + 5.

b) Ta có: y = f(x) = 2x + 5.

Chọn x = 0 ⇒ y = 5. Ta có điểm A(0; 5).

Chọn x = -1 ⇒ y = 3. Ta có điểm B(-1; 3).

Đồ thị d của hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Ta có hình vẽ:

c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất của đường thẳng d là: y = 2x + 5

⇔ - 2x + y – 5 = 0

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng d là: - 2x + y – 5 = 0.

Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}$(-2; 1). Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$(1; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(0; 5) nhận $\overrightarrow{u}$(1; 2) làm VTCP là: 

Vậy phương trình tổng quát và phương trình tham số lần lượt là - 2x + y – 5 = 0 và 

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hoạt động khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vec tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa ∆₁ và ∆₂ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (Hình 5a, b);

b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương (Hình 5c, d);

c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc (Hình 5d).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ có giá song song hoặc trùng nhau.

Mà $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ ∆₁ và $\overrightarrow{n_2}$ ⊥ ∆₂ nên ∆₁ // ∆₂ hoặc ∆₁ trùng ∆₂.

Vậy ∆₁ // ∆₂ hoặc ∆₁ trùng ∆₂.

b) Ta có $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cắt nhau nên ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

c) Ta có $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau

Mà $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ ∆₁ và $\overrightarrow{n_2}$ ⊥ ∆₂ nên ∆₁ vuông góc với ∆₂..

Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x – 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10;

b) 

c) 

Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$(1; -5) và $\overrightarrow{n_2}$(10; 2)

Ta lại có: $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$ = a₁a₂ – b₁b₂ = 1.10 + 2.(-5) = 0, suy ra $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$ .

Do đó d₁ và d₂ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

b) Vec tơ chỉ phương của d₂ là $\overrightarrow{u_2}$(4;3)

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{n_2}$(-3; 4).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là $\overrightarrow{n_1}$(3; -4).

Ta có: a₁b₂ – b₁a₂ = (-3).(-4) – 3.4 = 0. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d₂, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d₁ ta được: 3.1 – 4.1 + 9 = 8 ≠ 0, suy ra M không thuộc d₁.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

c) Đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$(4; 3) và $\overrightarrow{u_2}$(8; 6).

Ta có: a₁b₂ – b₁a₂ = 4.6 – 3.8 = 24 – 24 = 0. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d₂, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d₁ ta được:, suy ra M thuộc d₁.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ trùng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường thẳng d₁:

a) Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;

b) Đi qua điểm B(4; -1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x – y + 1 = 0.

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{n_2}$(1; 3).

Vì đường thẳng d₁ song song với đường thẳng d₂ nên vectơ pháp tuyến của d₂ cũng là vectơ pháp tuyến của d₁. Khi đó phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm A(2; 3) và nhận $\overrightarrow{n_2}$(1; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x – 2) + 3(y – 3) = 0 ⇔ x + 3y – 11 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là: x + 3y – 11 = 0.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₃ là $\overrightarrow{n_3}$(3; -1).

Vì đường thẳng d₁ vuông góc với đường thẳng d₃ nên vectơ pháp tuyến của d₃ là vectơ chỉ phương của d₁. Khi đó phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm B(4; -1) và nhận $\overrightarrow{n_3}$(3; -1) làm vectơ chỉ phương là: .

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là: 

3. Góc giữa hai đường thẳng

Hoạt động khám phá 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\widehat{xOz}=38°$(Hình 6). Tính số đo các góc $\widehat{xOt},\widehat{tOy}$ và $\widehat{yOz}$.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{xOt}+\widehat{xOz}=\widehat{tOz}$ (hai góc kề bù)

⇔ $\widehat{xOt}+38°=180°$

⇔ $\widehat{xOt}=180°-38°$

⇔ $\widehat{xOt}=142°.$

Ta có hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{tOy}$ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{xOz}=\widehat{tOy}=38°$.

Ta lại có hai góc $\widehat{xOt}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc đối đỉnh nên ta có $\widehat{xOt}=\widehat{yOz}=142°$.

Vậy $\widehat{xOt}=\widehat{yOz}=142°$ và $\widehat{tOy}=38°$.

Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng: ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 $\left(a_1^2+b_1^2>0\right)$> và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 $\left(a_2^2+b_2^2>0\right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ và tính cos$\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$.

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$(a₁; b₁) ⇒

Đường thẳng ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(a₂; b₂) ⇒

Ta có: $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$ = a₁.a₂ + b₁.b₂

Khi đó cos$\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$ = $\frac{a_1{a}_2+b_1.b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.

Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trong các trường hợp sau:

a) ∆₁: x + 3y – 7 = 0 và ∆₂: x – 2y + 3 = 0;

b) 

c) 

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁: x + 3y – 7 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; 3).

Đường thẳng ∆₂: x – 2y + 3 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (1; -2).

Ta có: cos(∆₁; ∆₂)

= cos

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 45°.

b) Đường thẳng ∆₁: 4x – 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$(4; -2)

Đường thẳng ∆₂: có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$(1; 2) hay vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(2; -1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ =4.(-1) – (-2).2 = 0. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 0°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 0°.

c) Đường thẳng ∆₁: có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$(1; 2)

Đường thẳng ∆₂: có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$(2; -1)

Ta có: $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=1.2+2.\left(-1\right)=0$. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ vuông góc.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 90°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 90°.

Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số y = x và y = 2x + 1.

Lời giải:

Gọi đường thẳng d: y = x ⇔ -x + y = 0. Khi đó vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$(-1; 1).

Gọi đường thẳng d’: y = 2x + 1 ⇔ - 2x + y – 1 = 0. Khi đó vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(-2; 1).

Khi đó cos(d; d’) = 

Suy ra (d; d’) = 18,43°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d và d’ là 18,43°.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a² + b² > 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và cho điểm M₀(x₀; y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H; y_H) trên ∆ (Hình 9).

a) Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$. Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c) Giải thích công thức 

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên $\overrightarrow{n}$⊥∆.

Ta lại có H là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ nên MH ⊥∆.

Suy ra $\overrightarrow{n}$// $\overrightarrow{H{M}_0}$(cùng vuông góc với ∆)

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{n}$và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Vì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên tọa độ của vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(a; b).

Ta có $\overrightarrow{H{M}_0}$ = (x₀ – x_H; y₀ – y_H).

b) Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}=a\left(x_0-x_H\right)+b\left(y_0-y_H\right)$ = ax₀ – ax_H + by₀ – by_H = ax₀ + by₀ – ax_H – by_H .

Vì điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên thay tọa độ điểm H vào phương trình ∆ ta được:

– ax_H – by_H = c ⇔ – ax_H – by_H = c.

Khi đó $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}$= ax₀ + by₀ + c với c = – ax_H – by_H.

Vậy p = ax₀ + by₀ + c.

c) Vì hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ bằng 0° hoặc bằng 180°.

TH1. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ bằng 0°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

TH2. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ bằng 180°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}$(4; 1)

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}$(4; 1) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là $\overrightarrow{n_{AB}}$(1; -4). Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

+) Ta có:$\overrightarrow{AC}$(3; 3)

Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}$(3; 3) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là $\overrightarrow{n_{AC}}$(1; -1). Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

+) Ta có: $\overrightarrow{BC}$(-1; 2)

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$(-1; 2) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n_{BC}}$(2; 1). Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{9}{\sqrt{17}}$.

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}$  = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0 ⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = $\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}$  = $\frac{10}{5}$  = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài tập

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}$  = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\overrightarrow{n}$  = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{n}$   = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0

Vậy phương trình tham số của d là  $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{n}$  = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n}$ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\overrightarrow{u}$  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b ⇒ b = 3 

⇒ Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3 ⇔ 2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận  $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\overrightarrow{u}$  = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

⇒ Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d ⇒ d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 3) + 3(y − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 6 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}\right.$ .

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có  $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) ⇒ đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − 4(y − 2)  = 0 ⇔ 2x − 4y + 6 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M( $\frac{1+5}{2}$; $\frac{2+4}{2}$ ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{AM}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$ .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x − 2) + 2(y − 5) = 0 ⇔ 4x + 2y – 18 = 0 ⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x + y – 9 = 0.

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) Δ đi qua B(−1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x − 2) + 1(y − 1) = 0 ⇔  3x + y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3x + y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận  $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

⇒ Phương  trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:  1(x +  1)  + 2(y − 4) = 0 ⇔  x + 2y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là x + 2y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) d₁: x − y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  và d₂: 5x − 2y  + 9 = 0

c) d₁:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d₂: 3x + y – 11 = 0.

Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −1) và $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$. Do đó d₁ ⊥ d₂.

Tọa độ M là giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y+4=0\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}\right.$  ⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ vuông góc với d₂ và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có : $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được:

5. 1 − 2. 3 + 9 = 0 ⇔ 8 = 0 (vô lí)

⇒ M ∉ d₂. 

Vậy d₁ // d₂.

c) Ta có $\overrightarrow{u_1}$  = (−1; 3) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0.

⇒ N ∈ d₂.     

Vậy d₁ trùng d₂.       

Bài tập 5 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$. Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\\ t=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$  ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ y=0\end{array}\right.$

⇒ $A\left(\frac{11}{3};0\right)$

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}t=2\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ B(0; 11).

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  $A\left(\frac{11}{3};0\right)$ và  B(0; 11).

Bài tập 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 và d₂: 3x − y − 11 = 0;

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$ và d₂: x + 5y – 5 = 0 ;

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=7+4t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\text{'}\\ y=-9+2t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  =(1 ; −2) ; d₂: 3x − y − 11 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$=(3; −1).

Khi đó cos(d₁, d­₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ = $\frac{\left|1.3+(-2).(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2}.\sqrt{3^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$  = (1; 5) nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  = (5; −1).

d₂: x + 5y – 5 = 0  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 5)

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$  = 5. 1 + (−1). 5 = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$  ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

c) Hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$  = (2; 4) và  $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$  = 2$\overrightarrow{u_2}$  ⇒  $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$  cùng phương.

⇒ d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau

⇒ (d₁, d₂) = 0°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 0°.

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) M(1; 2) và Δ: 3x − 4y + 12 = 0;       

b) M(4; 4) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ ;

c) M(0; 5) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$

d) M(0; 0) và Δ: 3x + 4y – 25 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: d(M; Δ) = $\frac{\left|3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{7}{5}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{7}{5}$ .

b) Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ =(1; −1) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ =(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

 Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

d(M; Δ) = $\frac{\left|4+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$ = $\frac{8}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{8}{\sqrt{2}}$ .

c) Δ:  $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (1; 0) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$  = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(x − 0) + (y + $\frac{19}{4}$ ) = 0 ⇔ y + $\frac{19}{4}$  = 0.

d(M; Δ) =  $\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}$ = $\frac{39}{4}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{39}{4}$ .

d) Đường thẳng Δ: 3x + 4y – 25 = 0 nhận $\overrightarrow{n}$  = (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó  d(M; Δ) = $\frac{\left|3.0+4.0–25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$  = $\frac{25}{5}$  = 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.

Bài tập 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0.

Lời giải:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0 có $\overrightarrow{n}$  = (3; 4) là vectơ pháp tuyến.

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0 có $\overrightarrow{n\text{'}}$  = (6; 8) là vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\left(=\frac{1}{2}\right)$  nên $\overrightarrow{n}$  và $\overrightarrow{n\text{'}}$  cùng phương.

Suy ra Δ và  Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; 1) ∈ Δ, thay tọa độ điểm M vào Δ′ ta có:

6.2 + 8.1 – 1 = 0 ⇔ 19 = 0 (vô lý).

⇒ M ∉ Δ′.

Do đó Δ // Δ′.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là khoảng cách từ điểm M đến Δ′.

⇒ d(Δ, Δ′) = d(M, Δ′) = $\frac{|6.2+8.1-1|}{\sqrt{6^2+8^2}}$ = $\frac{19}{10}$  = 1,9.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 1,9.

Bài tập 9 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d: 12x − 5y + 16 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Lời giải:

Đường thẳng d: 12x − 5y + 16 = 0 có vectơ pháp uyến là $\overrightarrow{n}$  = (12; −5).

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Ta có: d(M; d) = $\frac{|12.5-5.10+16|}{\sqrt{{12}^2+{(-5)}^2}}$  = $\frac{26}{13}$  = 2.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài tập 10 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(−1; 1), B(9; 6), C(5; −3) là ba vị trí trên màn hình.

a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (10; 5), $\overrightarrow{AC}$ = (6; −4), $\overrightarrow{BC}$ = (−4; −9).

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_1}$ = (5; −10) là vectơ pháp tuyến là:  

5(x + 1) − 10(y − 1) = 0 ⇔ 5x − 10y + 15 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_2}$ = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là: 

4(x + 1) + 6(y − 1) = 0 ⇔ 4x + 6y – 2 = 0 ⇔ 2x + 3y – 1 = 0.

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận $\overrightarrow{BC}$  làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_3}$ = (9; −4) là vectơ pháp tuyến là: 

9(x − 9) − 4(y − 6) = 0 ⇔ 9x − 4y – 57 = 0.

Vậy phương trình của các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt là: 10x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y – 1 = 0; 9x − 4y – 57 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ = 10.6 + 5.(−4) = 40;

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là $\frac{70}{\sqrt{97}}$ .

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9