Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a^2 + b^2 > 0) có vectơ pháp tuyến n

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) có vectơ pháp tuyến n và cho điểm M0(x0; y0) có hình chiếu vuông góc H(xH; yH) trên ∆ (Hình 9).

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

a) Chứng minh rằng hai vectơ n và HM0 cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ n và HM0. Chứng minh rằng p = ax0 + by0 + c.

c) Giải thích công thức Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

 

Trả lời

a) Do n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên n⊥∆.

Ta lại có H là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ nên MH ⊥∆.

Suy ra n// HM0(cùng vuông góc với ∆)

Do đó hai vectơ nvà HM0 cùng phương.

Vì n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên tọa độ của vectơ pháp tuyến là n(a; b).

Ta có HM0 = (x0 – xH; y0 – yH).

b) Ta có: n.HM0=ax0xH+by0yH = ax0 – axH + by0 – byH = ax0 + by0 – axH – byH .

Vì điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên thay tọa độ điểm H vào phương trình ∆ ta được:

– axH – byH = c ⇔ – axH – byH = c.

Khi đó n.HM0= ax0 + by0 + c với c = – axH – byH.

Vậy p = ax0 + by0 + c.

c) Vì hai vectơ n và HM0 cùng phương nên góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 0° hoặc bằng 180°.

TH1. Góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 0°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

TH2. Góc giữa hai vectơ n và HM0 bằng 180°

Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả