Giải Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
1. Elip
Lời giải:
Ta có F1M + F2M + F1F2 là độ dài sợi dây
Do đó F1M + F2M + F1F2 = 2a + 2c
⇔ F1M + F2M = 2a + 2c – F1F2
⇔ F1M + F2M = 2a + 2c – 2c
⇔ F1M + F2M = 2a.
Vậy F1M + F2M = 2a.
a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.
b) Giải thích phát biểu sau:
M(x; y) ∈ (E) ⇔ .
Lời giải:
a) Ta có: ⇒
⇒
Vậy và .
b)
+) Ta có: Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.
Nếu M thuộc elip (E) thì F1M + F2M = 2a hay .
+) Nếu điểm M(x; y) có tọa độ thỏa mãn hay F1M + F2M = 2a thì M là điểm thỏa mãn F1M + F2M = 2a.
Thực hành 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.
Lời giải:
+) Hình 4:
Ta có: a = 3, b = 2
Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
⇔
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
Lời giải:
Theo hình vẽ ta thấy: 2a = 10 ⇔ a = 5 và b = 4.
Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
⇔ .
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là: .
2. Hypebol
a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF1 – MF2 = 2a.
b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để đầu bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường H (Hình 6c). Tính MF2 – MF1.
Lời giải:
a) Ta có:
MF1 + MA = AB = d (1)
MF2 + MA = l (2)
Lấy vế với vế của (1) trừ cho (2) ta được: (MF1 + MA) – (MF2 + MA) = d – l
⇔ MF1 + MA – MF2 – MA = d – l
⇔ MF1 – MF2 = d – l
Mà d – l = 2a.
⇒ MF1 – MF2 = 2a.
Vậy MF1 – MF2 = 2a.
b) Ta có:
MF2 + MA = AB = d (3)
MF1 + MA = l (4)
Lấy vế với vế của (3) trừ cho (4) ta được: (MF2 + MA) – (MF1 + MA) = d – l
⇔ MF2 + MA – MF1 – MA = d – l
⇔ MF2 – MF1 = d – l
Mà d – l = 2a.
⇒ MF2 – MF1 = 2a.
Vậy MF2 – MF1 = 2a.
a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.
b) Giải thích các phát biểu sau:
M(x; y) ∈ (H) ⇔
Lời giải:
a) Ta có: ⇒
⇒
Vậy và .
b) +) Ta có: Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.
Nếu M thuộc elip (E) thì F1M + F2M = 2a hay .
+) Nếu điểm M(x; y) có tọa độ thỏa mãn hay F1M + F2M = 2a thì M là điểm thỏa mãn F1M + F2M = 2a.
Lời giải:
Tiêu cự của hypebol là: 2c = 10 ⇔ c = 5 và độ dài trục ảo là 2b = 6 ⇔ b = 3.
Ta có:
⇔ a2 + b2 = c2
⇔ a2 = c2 – b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
⇔ a = 4
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6 là:
⇔ .
Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: .
Lời giải:
Gọi khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là h thì khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là 2h.
Khi đó chiều cao của tháp là: h + 2h = 3h
Mà chiều cao của tháp là 120m nên ta có: 3h = 120 ⇔ h = 120 : 3 = 40 (m).
Gọi A và B là hai điểm như hình vẽ.
Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.
⇒ yA = 40.
Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng 27.
Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.
⇒ yB = 2h = 2.40 = 80.
Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng 27.
Vậy bán kính đường tròn nóc là 27 và bán kính đường tròn đáy là 27.
3. Parabol
- Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên ∆):
MF = , MH = .
- Điều kiện để M cách đều F và ∆:
MF = d(M, ∆) ⇔
⇔
⇔ x2 = 2y
⇔ y = x2 (*)
Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.
Lời giải:
Hàm số (*) vừa tìm được là hàm bậc hai và đồ thị của hàm số (*) là hàm Parabol.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho và ∆: x + = 0. Xét điểm M(x; y).
a) Tính MF và d(M. ∆).
b) Giải thích phát biểu sau:
M(x; y) ∈ (P) ⇔ .
Lời giải:
a) Ta có: ⇒ MF =
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là:
d(M, ∆) =
b) +) Ta có M(x; y) ∈ (P) cần chứng minh .
Vì M(x; y) ∈ (P) nên M cách đều F và ∆
⇒ MF = d(M, ∆) hay (1).
+) Ta có điểm M(x; y) thỏa mãn thì M(x; y) ∈ (P).
Ta có
⇒ MF = d(M, ∆)
Nghĩa là điểm M thỏa mãn cách đều tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Do đó điểm M thuộc parabol (P) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải:
Ta có đường chuẩn ∆: x + 1 = 0 nên ⇔ p = 2.
Khi đó phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px
⇔ y2 = 2.2.x
⇔ y2 = 4x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 4x.
Lời giải:
Ta vẽ parabol biểu diễn cho cổng chào như sau:
Gọi phương trình của parabol là y2 = 2px.
Ta có chiều cao của cổng là OH = 10, bề rộng của cổng là AB = 5.
Khi đó A(10; 2,5), thay tọa độ điểm A vào parabol y2 = 2px, ta được:
2,52 = 2p.10
⇔ = 20p
⇔ p =
Suy ra parabol có phương tình y2 = 2..x ⇔ y2 = .x
Tại vị trí điểm K cách đỉnh 2m bề rộng của cổng là đoạn CD.
Gọi C(2; yC) (yC > 0)
Vì C thuộc parabol nên tọa độ của C thỏa mãn y2 = .x nên ta có:
= .2
⇔ =
⇔ yC =
⇒ C = (0; ).
Khi đó CD = 2|yC|= 2. = .
Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là m.
Bài tập
Bài 1 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;
b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;
Lời giải:
a) Độ dài trục lớn của elip là 2a = 20 ⇔ a = 20 : 2 = 10;
Độ dài trục nhỏ của elip là: 2b = 16 ⇔ b = 16 : 2 = 8;
Khi đó phương trình chính tắc của elip cần tìm là:
⇔
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
b) Ta có tiêu cự của hypebol là 2c = 20 ⇔ c = 20 : 2 = 10;
Độ dài trục thực 2a = 12 ⇔ a = 12 : 2 = 6;
Ta lại có: a2 + b2 = c2
⇔ b2 = c2 – a2
⇔ b2 = 102 – 62
⇔ b2 = 100 – 36
⇔ b2 = 64
⇔ b = 8
Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
c) Parabol có tiêu điểm F nghĩa là ⇔ p = 1.
Khi đó phương trình chính tắc của parabol là: y2 = 2.1.x ⇔ y2 = 2x.
a) (C1): 4x2 + 16y2 = 1;
b) (C2): 16x2 – 4y2 = 144;
c) (C3): x= y2.
Lời giải:
a) Xét phương trình: 4x2 + 16y2 = 1
⇔
⇔
Đây là phương trình chính tắc của elip với a = và b = .
Ta có: b2 + c2 = a2
⇔ c2 =
⇔ c =
Khi đó tọa độ các tiêu điểm của elip là F1 và F2.
Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho elip và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F1 và F2.
b) Xét phương trình 16x2 – 4y2 = 144
⇔
⇔
⇔
Đây là phương trình chính tắc của hypebol với a = 3 và b = 6.
Ta có: a2 + b2 = c2
⇔ c2 = 32 + 62 = 9 + 36 = 45
⇔ c =
Khi đó tọa độ các tiêu điểm của hypebol là F1 và F2.
Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho hypebol và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F1 và F2.
c) Ta có: x= y2⇔ y2 = 8x
Ta thấy phương trình (C3) có dạng y2 = 2px nên (C3) là phương trình của parabol và p = 4.
⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C3) là F(2; 0).
Vậy parabol (C3): x= y2 có tiêu điểm là F = (2; 0).
Chuẩn bị:
- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.
- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip. (xem minh họa trong Hình 15).
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimét và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Lời giải:
Ta có: hình elip có độ dài trục lớn là 80 cm nên 2a = 80 ⇔ a = 40
Độ dài trục nhỏ là 40 cm nên 2b = 40 ⇔ b = 20
⇒ c = = = (cm).
⇒ 2c = 2.20= 40
⇒ F1F2 = 2c = 40
Do đó hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván là 20 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là (80 − ) : 2 ≈5,36 cm.
Độ dài vòng dây là MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 2.40 + 2. ≈ 74,64 cm.
Vậy hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 20 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván 5,36 cm và Độ dài vòng dây là 74,64 cm.
a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.
b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m lên nóc nhà vòm
Lời giải:
Đặt hệ trục tọa độ như sau:
Theo hình vẽ ta thấy AB là độ dài trục lớn của elip và cũng chính là chiều rộng của nhà vòm nên 2a = 20 ⇔ a = 10.
OC là một nửa trục bé hay chính là chiều cao của nhà vòm nên b = 8.
Khi đó phương trình của elip trên là:
⇔ (*)
Vậy phương trình elip đã cho là .
b) Gọi điểm D là điểm nằm trên elip và cách chân tường 5m.
Khi đó khoảng cách từ D đến gốc tọa độ O là 10 – 5 = 5m. Hay chính là hoành độ của điểm D.
Gọi D(5; yD)
Vi D thuộc elip trên nên tọa độ điểm D thỏa mãn phương trình (*), ta có:
⇔
⇔
⇔ yD =
⇒ D(5; )
Suy ra khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà là tung độ của điểm D là (m).
Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà là m.
Lời giải:
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, điểm O là tâm đối xứng của hypebol:
Gọi hai điểm A và B như hình vẽ.
Đặt khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là h. Khi đó khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là h.
Theo đầu bài ta có: h + h = 150
⇔ h = 150
⇔ h = 150 :
⇔ h = 90.
Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.
⇒ yA = h = .90 = 60.
Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng .
Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.
⇒ yB = -h = -90.
Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng .
Vậy bán kính đường tròn nóc là và bán kính đường tròn đáy là .
Lời giải:
Ta chọn hệ tọa độ sao cho parabol có phương trình: y2 = 2px.
Thay điểm M(24; 50) vào phương trình trên ta được:
502 = 2p.24
⇔ p =
Khi đó phương trình parabol là: y2 = x
Gọi N là điểm nằm trên parabol cách điểm giữa cầu 18m, nghĩa là N(xN; 18).
Thay tọa độ điểm N vào parabol ta được:
182 = xN
⇔ xN =
Vậy chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m là: 3,11 + 6 = 9,11 m.
Một chóa đèn pin có mặt cắt hình parabol với kích thước như trong Hình 21.
b) Để đèn chiếu được xa phải đặt bóng đèn cách đỉnh của chóa đèn bao nhiêu xentimét?
Lời giải:
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Phương trình parabol cần tìm có dạng y2 = 2px.
Điểm M(3; 9) thuộc parabol trên nên ta có:
92 = 2p.3
⇔ 6p = 81
⇔ p =
Suy ra phương trình parabol là y2 = 2..x ⇔ y2 = x.
Vậy phương trình parabol cần tìm là y2 = x.
b) Để đèn chiếu được xa thì phải đặt bóng đèn tại tiêu điểm F của parabol.
Ta có: F = .
Vậy để đèn chiếu được xa thì phải đặt bóng đèn cách đỉnh của chóa đèn xentimét.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ