Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau: a) M(1; 2) và Δ: 3x − 4y + 12 = 0

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) M(1; 2) và Δ: 3x − 4y + 12 = 0;       

b) M(4; 4) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ ;

c) M(0; 5) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$

d) M(0; 0) và Δ: 3x + 4y – 25 = 0.

Trả lời

a) Ta có: d(M; Δ) = $\frac{\left|3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{7}{5}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{7}{5}$ .

b) Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ =(1; −1) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ =(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

 Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

d(M; Δ) = $\frac{\left|4+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$ = $\frac{8}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{8}{\sqrt{2}}$ .

c) Δ:  $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (1; 0) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$  = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(x − 0) + (y + $\frac{19}{4}$ ) = 0 ⇔ y + $\frac{19}{4}$  = 0.

d(M; Δ) =  $\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}$ = $\frac{39}{4}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{39}{4}$ .

d) Đường thẳng Δ: 3x + 4y – 25 = 0 nhận $\overrightarrow{n}$  = (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó  d(M; Δ) = $\frac{\left|3.0+4.0–25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$  = $\frac{25}{5}$  = 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9