Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 9 trang 73, 74, 75
a) Chứng minh ABCD là một hình vuông.
b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.
Lời giải:
Ta có: = (-1; 3) ⇒ AB =
= (-1; 3) ⇒ DC =
⇒ ⇒ AB // CD và AB = DC
⇒ ABCD là hình bình hành (1)
Ta lại có: = (3; 1)
⇒ = (-1).3 + 3.1 = 0
⇒
⇒ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình vuông.
b) Vì I là tâm của hình vuông ABCD nên I là giao điểm của hai đường cheoc AC và BD hay I là trung điểm của AC. Khi đó tọa độ điểm I là:
⇒ I(3; 3).
Vậy tọa độ tâm I của hình vuông ABCD là I(3; 3).
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Đặt AE = a, EB = b, EC = c, ED = d.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho E(0; 0), A(a; 0), B(b; 0), C(0; c) và D(0; d) và F(a; c).
Xét ∆AEC và ∆DEB, có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn )
⇒ ∆AEC ∽ ∆DEB (g – g)
⇒
⇒
⇔ AE.EB = DE.EC
⇔ AE.EB = DE.EC
⇔ a.b = d.c
⇔ d.c – ab = 0
Ta có: = (a; c), = (-b; d)
⇒ = a.(-b) + c.d = - ab + cd = 0
⇒
⇒ EF ⊥ BD.
a) d1: x – y + 2 = 0 và d2: x + y + 4 = 0;
Lời giải:
a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d1 và d2. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
⇒ A(-3; -1).
Ta có:
Đường thẳng d1: x – y + 2 = 0 có VTPT là (1; -1);
Đường thẳng d2: x + y + 4 = 0 có VTPT là (1; 1);
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
cos(d1; d2) =
⇒ (d1; d2) = 90°
Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là A(-3; -1) và góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 90°.
b) Ta có: d1:
⇔ x – 1 =
⇔ 2x – 2 = y – 3
⇔ 2x – y + 1 = 0
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d1 và d2. Khi đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có:
Đường thẳng d1: 2x – y + 1 = 0 có VTPT là (2; -1);
Đường thẳng d2: x – 3y + 2 = 0 có VTPT là (1; -3);
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
cos(d1; d2) =
⇒ (d1; d2) = 45°
Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là và góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 45°.
c) Gọi C là giao điểm của đường thẳng d1 và d2. Khi đó tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có:
Đường thẳng d1: có VTCP là = (-1; 3);
Đường thẳng d2: có VTCP là = (3; 1).
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
cos(d1; d2) =
⇒ (d1; d2) = 90°
Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là và góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90°.
Lời giải:
Đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0 nên bán kính đường tròn tâm M là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.
Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:
d(M, d) = .
Vậy bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d là .
Bài 5 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
∆: 6x + 8y – 13 = 0 và ∆’: 3x + 4y – 27 = 0.
Lời giải:
Đường thẳng ∆: 6x + 8y – 13 = 0 có VTPT là = (6; 8);
Đường thẳng ∆’: 3x + 4y – 27 = 0 có VTPT là = (3; 4);
Ta thấy 6.4 – 8.3 = 24 – 24 = 0 suy ra cùng phương . Do đó đường thẳng ∆ song song với ∆’.
Lấy điểm M(1; 6) ∈ ∆’. Ta tính khoách từ điểm M đến đường thẳng ∆.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta được:
d(M; ∆) = .
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng 4,1.
Bài 6 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:
c) x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0.
Lời giải:
a) Xét phương trình (x – 2)2 + (y – 7)2 = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = = 8.
Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 7) và bán kính R = 8.
b) Xét phương trình (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8 có tâm I(-3; -2) và bán kính R = .
Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(-3; -2) và bán kính R = .
c) Xét phương trình x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
Phương trình (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 có tâm I(2; 3) và bán kính R = = 5.
Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 3) và bán kính R = 5.
Bài 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;
b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);
c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;
d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.
Lời giải:
a) Phương trình có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9 là:
(x + 2)2 + (y – 4)2 = 92
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 81
⇔ x2 + y2 + 4x – 8y – 61 = 0
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 + y2 + 4x – 8y – 61 = 0.
b) Ta có: = (3; 3) ⇒ IA = || = = .
Đường tròn cần tìm có tâm I và đi qua điểm A nên độ dài đoạn thẳng IA bằng bán kính của đường tròn nên R = .
Phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính R = là:
(x – 1)2 + (y – 2)2 =
⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18.
c) Xét phương trình đường thẳng 4x + y – 16 = 0 đi qua điểm M(4; 0) có VTPT là (4; 1), khi đó VTCP của đường thẳng là (1; -4).
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm.
Vì I nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0 nên I(4 + t; -4t).
Ta có:
Vì đường tròn đi qua hai điểm A và B nhận I làm tâm nên IA = IB = R.
⇔ t2 + 16t2 + 8t + 1 = t2 – 4t + 4 + 16t2 + 40t + 25
⇔ - 28t = 28
⇔ t = - 1
⇒ I(3; 4) và
Phương trình đường tròn tâm I(3; 4) và có bán kính là:
(x – 3)2 + (y – 4)2 =
⇔ (x – 3)2 + (y – 4)2 = 10.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)2 + (y – 4)2 = 10.
d) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.
Ta có hình vẽ sau:
Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy
⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = OA = .
⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = OB = .
⇒ I
⇒ ⇒ IA =
Phương trình đường tròn cần tìm là:
.
Lời giải:
Xét phương trình (C): (x – 5)2 + (y – 3)2 = 1000 có tâm I(5; 3) và bán kính R = .
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(11; 11) là:
6(x – 11) + 8(y – 11) = 0
⇔ 6x + 8y – 154 = 0
⇔ 3x + 4y – 77 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là 3x + 4y – 77 = 0.
Lời giải:
a) Ta có: là phương trình elip với a = 10, b = 6.
Ta lại có: b2 + c2 = a2
⇔ c2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
⇔ c = 8
Tọa độ tiêu điểm là F1( –8; 0) và F2 (8; 0)
Tọa độ các đỉnh là A1(-10; 0), A2(10; 0), B1(0; -6), B2(0; 6).
Độ dài trục lớn là 2a = 2.10 = 20, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.6 = 12.
b) Ta có: là phương trình elip với a = 5, b = 4.
Ta lại có: b2 + c2 = a2
⇔ c2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9
⇔ c = 3
Tọa độ tiêu điểm là F1(-3; 0) và F2 (3; 0)
Tọa độ các đỉnh là A1(-5; 0), A2(5; 0), B1(0; -4), B2(0; 4).
Độ dài trục lớn là 2a = 2.5 = 10, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.4 = 8.
c) x2 + 16y2 = 16.
⇔
⇔
Ta có: là phương trình elip với a = 4, b = 1.
Ta lại có: a2 = b2 + c2
⇔ c2 = a2 – b2 = 42 – 12 = 16 – 1 = 15
⇔ c =
Tọa độ tiêu điểm là F1( ; 0) và F2 ( ; 0)
Tọa độ các đỉnh là A1(-4; 0), A2(4; 0), B1(0; -1), B2(0; 1).
Độ dài trục lớn là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.1 = 2.
Bài 10 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:
b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);
c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;
d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.
Lời giải:
a) Đỉnh của elip là (5; 0), (0; 4) nên a = 5, b = 4.
Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:
Vậy phương trình elip cần tìm là .
b) Đỉnh của elip là (5; 0) nên a = 5, tiêu điểm (3; 0) nên c = 3
Ta có: b2 + c2 = a2
⇔ b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
⇔ b = 4
Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:
Vậy phương trình elip cần tìm là .
c) Ta có: Độ dài trục lớn 2a = 16 ⇔ a = 8, độ dài trục nhỏ 2b = 12 ⇔ b = 6.
Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:
Vậy phương trình elip cần tìm là .
d) Độ dài trục lớn 2a = 20 ⇔ a = 10, tiêu cự 2c = 12 ⇔ c = 6
Ta có b2 + c2 = a2
⇔ b2 = a2 – c2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
⇔ b = 8
Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:
Vậy phương trình elip cần tìm là .
Lời giải:
a) Với hypebol (H):
Phương trình hypebol (H) có dạng:
⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = = = 5.
Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0).
Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).
Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.
b) Với hypebol (H):
Phương trình hypebol (H) có dạng:
⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c = = = 10.
Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−10; 0), (10; 0)
Tọa độ các đỉnh là (−8; 0), (8; 0)
Độ dài trục thực là: 2a = 2. 8 = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 6 = 12.
c) Ta có: x2 − 16y2 =16 ⇔
⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = = = .
Vậy tọa độ các tiêu điểm là ,
Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0)
Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 1 = 2.
d) Ta có: 9x2 − 16y2 = 144 ⇔
⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = = =5.
Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0)
Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).
Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.
a) Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);
b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.
Lời giải:
a) Đỉnh (3; 0) nên a = 3, tiêu điểm (5; 0) nên c = 5.
Ta có: a2 + b2 = c2
⇔ b2 = c2 – a2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
⇔ b = = 4
Phương trình chính tắc của hypebol là:
Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: .
b) Độ dài trục thực 2a = 8 ⇔ a = 4, độ dài trục ảo 2b = 6 ⇔ b = 3.
Phương trình chính tắc của hypebol là:
Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: .
Lời giải:
a) Ta có: y2 = 12x = 2.6.x
⇒ p = 6 ⇒
Khi đó:
Tọa độ tiêu điểm F = = (3; 0);
Phương trình đường chuẩn là: x + 3 = 0.
b) Ta có: y2 = x ⇔ y2 = 2..x
⇒ p = ⇒
Khi đó:
Tọa độ tiêu điểm F =
Phương trình đường chuẩn là: x + = 0.
b) Đường chuẩn có phương trình x = ;
d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.
Lời giải:
a) Tiêu điểm F(4; 0)
⇒ ⇔ p = 8
Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y2 = 2px = 2.8.x = 16x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 16x.
b) Đường chuẩn có phương trình x = ⇔ x + = 0
⇒ ⇔ p =
Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y2 = 2px = 2..x = x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = x.
c) Phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 2px
Vì parabol đi qua điểm (1; 4) nên tọa độ điểm này thỏa mãn phương trình trên, ta có:
42 = 2.p.1
⇔ 16 = 2p
⇔ p = 8
Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 2.8.x = 16x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 16x.
d) Gọi tiêu điểm F và đường chuẩn của parabol cần tìm là ∆: x + = 0.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có:
d(F; ∆) =
Mà khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên p = 8
Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 2.8.x = 16x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 16x.
Lời giải:
Parabol có tiêu điểm cách đỉnh 5cm nên ⇔ p = 10
Phương trình chính tắc của parabol là: y2 = 2.10.x = 20x.
Đặt A(xA; yA)
Vì bề sâu của gương là 45 cm nên xA = 45.
⇒ = 20.45 = 900
⇔ yA = 30
Khoảng cách AB bằng hai lần khoảng cách từ A đến trục Ox và bằng: 2.30 = 60 (cm).
Vậy khoảng cách AB là 60 cm.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol.
b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y2 = 2px (p ≥ 0)
Ta đặt hệ trục tọa độ như sau:
Theo hình vẽ điểm A(1; 3) thuộc parabol nên thay tọa độ điểm A vào phương trình trên ta được:
32 = 2p.1 ⇔ p =
Khi đó phương trình chính tắc của parabol là: y2 = 2..x = 9x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 9x.
b) Tâm của đường ống chính là tiêu điểm của parabol.
Khi đó tọa độ tiêu điểm F = .
Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol là m.
Lời giải:
Ta có hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Phương trình parabol (P) có dạng y2 = 2px.
Gọi chiều cao của cổng là h (m) ⇒ OC = h
Ta có khoảng cách đến mặt đất là 2m nên MH = 2 ⇒ OK = h – 2 và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m nên AH = 0,5.
Ta lại có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m nên AC = 192:2 = 96.
Khi đó tọa độ điểm A là A(h; 96)
Mà AH + CH = AC
⇒ CH = AC – AH = 96 – 0,5 = 95,5
⇒ M(h – 2; 95,5).
Vì các điểm M và A thuộc parabol nên tọa độ của M và A đều thỏa mãn phương trình y2 = 2px, ta có:
962 = 2ph (1) và 95,52 = 2p(h – 2) (2)
Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:
⇔ 9 216(h – 2) = 9 120,25h
⇔ 9 216h – 18 432 = 9 120,25h
⇔ 95,75h = 18 432
⇔ h ≈ 192,5 (m)
Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5m.
a) Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.
b) Điểm có độ võng 1cm cách tâm ván gỗ bao xa?
Lời giải:
a) Đặt hệ trục tọa độ như hình sau:
Gọi phương trình parabol cần tìm là: y2 = 2px
Điểm A trên hình vẽ có tọa độ A(0,03; 8)
Vì A thuộc parabol nên thay tọa độ điểm A vào phương trình trên ta được:
82 = 2p.0,03 ⇔ p = .
Khi đó phương trình parabol đã cho là: y2 = 2..x = x.
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = x.
b) Gọi M là điểm trên ván gỗ có độ võng 1cm.
Khi đó điểm M có hoành độ 3cm – 1cm = 2cm = 0, 02m
Thay xM = 0,02 vào phương trình parabol (P) ta được:
⇒ || = ≈ 6,53
Khoảng cách từ điểm này đến tâm ván gỗ chính là trị tuyệt đối tung độ của điểm M.
Vậy điểm này cách tâm ván gỗ khoảng 6,53m.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ