Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a^2 + b^2 > 0) có vectơ pháp tuyến n
990
13/06/2023
Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) có vectơ pháp tuyến →n và cho điểm M0(x0; y0) có hình chiếu vuông góc H(xH; yH) trên ∆ (Hình 9).
![Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10](https://vietjack.com/toan-10-ct/images/hoat-dong-kham-pha-7-trang-56-toan-10-tap-2.PNG)
a) Chứng minh rằng hai vectơ →n và →HM0 cùng phương và tìm tọa độ của chúng.
b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ →n và →HM0. Chứng minh rằng p = ax0 + by0 + c.
c) Giải thích công thức ![Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10](https://vietjack.com/toan-10-ct/images/hoat-dong-kham-pha-7-trang-56-toan-10-tap-2-1.PNG)
Trả lời
a) Do →n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên →n⊥∆.
Ta lại có H là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ nên MH ⊥∆.
Suy ra →n// →HM0(cùng vuông góc với ∆)
Do đó hai vectơ →nvà →HM0 cùng phương.
Vì →n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên tọa độ của vectơ pháp tuyến là →n(a; b).
Ta có →HM0 = (x0 – xH; y0 – yH).
b) Ta có: →n.→HM0=a(x0−xH)+b(y0−yH) = ax0 – axH + by0 – byH = ax0 + by0 – axH – byH .
Vì điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên thay tọa độ điểm H vào phương trình ∆ ta được:
– axH – byH = c ⇔ – axH – byH = c.
Khi đó →n.→HM0= ax0 + by0 + c với c = – axH – byH.
Vậy p = ax0 + by0 + c.
c) Vì hai vectơ →n và →HM0 cùng phương nên góc giữa hai vectơ →n và →HM0 bằng 0° hoặc bằng 180°.
TH1. Góc giữa hai vectơ →n và →HM0 bằng 0°
Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:
![Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10](https://vietjack.com/toan-10-ct/images/hoat-dong-kham-pha-7-trang-56-toan-10-tap-2-2.PNG)
TH2. Góc giữa hai vectơ →n và →HM0 bằng 180°
Áp dụng công thức cos giữa hai vectơ ta được:
![Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10](https://vietjack.com/toan-10-ct/images/hoat-dong-kham-pha-7-trang-56-toan-10-tap-2-3.PNG)
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài tập cuối chương 8
Bài 1: Toạ độ của vectơ
Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Bài tập cuối chương 9