Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Giải Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Hoạt động khám phá 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 2: Ba bạn An, Bình, Cường đang chơi cùng nhau. An gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối (viết tắt là xúc xắc) hai lần. Nếu kết quả gieo hai lần gieo ra hai mặt có số chấm khác nhau thì Bình thắng. Ngược lại, nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm giống nhau thì Cường thắng.

a) Trước khi An gieo con xúc xắc, có thể biết bạn nào sẽ chiến thắng không?

b) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo.

Lời giải:

a) Trước khi An gieo con xúc xắc, chưa thể biết bạn nào sẽ chiến thắng.

b) Các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là:

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 1 chấm thì lần 2 có thể ra các kết quả là 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {1 chấm – 1 chấm; 1 chấm – 2 chấm; 1 chấm – 3 chấm; 1 chấm – 4 chấm; 1 chấm – 5 chấm; 1 chấm – 6 chấm}.

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 2 chấm thì các kết quả lần 2 có thể xảy ra là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {2 chấm – 1 chấm; 2 chấm – 2 chấm; 2 chấm – 3 chấm; 2 chấm – 4 chấm; 2 chấm – 5 chấm; 2 chấm – 6 chấm}.

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 3 chấm thì các kết quả lần 2 có thể xảy ra là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {3 chấm – 1 chấm; 3 chấm – 2 chấm; 3 chấm – 3 chấm; 3 chấm – 4 chấm; 3 chấm – 5 chấm; 3 chấm – 6 chấm}.

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 4 chấm thì các kết quả lần 2 có thể xảy ra là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {4 chấm – 1 chấm; 4 chấm – 2 chấm; 4 chấm – 3 chấm; 4 chấm – 4 chấm; 4 chấm – 5 chấm; 4 chấm – 6 chấm}.

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 5 chấm thì các kết quả lần 2 có thể xảy ra là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {5 chấm – 1 chấm; 5 chấm – 2 chấm; 5 chấm – 3 chấm; 5 chấm – 4 chấm; 5 chấm – 5 chấm; 5 chấm – 6 chấm}.

+) Nếu lần 1 xúc xắc ra 6 chấm thì các kết quả lần 2 có thể xảy ra là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Ta có thể các kết quả của hai lần gieo là: {6 chấm – 1 chấm; 6 chấm – 2 chấm; 6 chấm – 3 chấm; 6 chấm – 4 chấm; 6 chấm – 5 chấm; 6 chấm – 6 chấm}.

Vậy có tất cả 36 kết quả có thể xảy ra là: {1 chấm – 1 chấm; 1 chấm – 2 chấm; 1 chấm – 3 chấm; 1 chấm – 4 chấm; 1 chấm – 5 chấm; 1 chấm – 6 chấm, 2 chấm – 1 chấm; 2 chấm – 2 chấm; 2 chấm – 3 chấm; 2 chấm – 4 chấm; 2 chấm – 5 chấm; 2 chấm – 6 chấm, 3 chấm – 1 chấm; 3 chấm – 2 chấm; 3 chấm – 3 chấm; 3 chấm – 4 chấm; 3 chấm – 5 chấm; 3 chấm – 6 chấm, 4 chấm – 1 chấm; 4 chấm – 2 chấm; 4 chấm – 3 chấm; 4 chấm – 4 chấm; 4 chấm – 5 chấm; 4 chấm – 6 chấm, 5 chấm – 1 chấm; 5 chấm – 2 chấm; 5 chấm – 3 chấm; 5 chấm – 4 chấm; 5 chấm – 5 chấm; 5 chấm – 6 chấm, 6 chấm – 1 chấm; 6 chấm – 2 chấm; 6 chấm – 3 chấm; 6 chấm – 4 chấm; 6 chấm – 5 chấm; 6 chấm – 6 chấm}.

Thực hành 1 trang 78 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm không gian mẫu ở phép thử hoạt động khám phá 1.

Lời giải:

Vậy theo hoạt động khám phá 1 có tất cả 36 kết quả đây cũng chính là không gian mẫu của phép thử này:

Ω = {1 chấm – 1 chấm; 1 chấm – 2 chấm; 1 chấm – 3 chấm; 1 chấm – 4 chấm; 1 chấm – 5 chấm; 1 chấm – 6 chấm, 2 chấm – 1 chấm; 2 chấm – 2 chấm; 2 chấm – 3 chấm; 2 chấm – 4 chấm; 2 chấm – 5 chấm; 2 chấm – 6 chấm, 3 chấm – 1 chấm; 3 chấm – 2 chấm; 3 chấm – 3 chấm; 3 chấm – 4 chấm; 3 chấm – 5 chấm; 3 chấm – 6 chấm, 4 chấm – 1 chấm; 4 chấm – 2 chấm; 4 chấm – 3 chấm; 4 chấm – 4 chấm; 4 chấm – 5 chấm; 4 chấm – 6 chấm, 5 chấm – 1 chấm; 5 chấm – 2 chấm; 5 chấm – 3 chấm; 5 chấm – 4 chấm; 5 chấm – 5 chấm; 5 chấm – 6 chấm, 6 chấm – 1 chấm; 6 chấm – 2 chấm; 6 chấm – 3 chấm; 6 chấm – 4 chấm; 6 chấm – 5 chấm; 6 chấm – 6 chấm}.

Vận dụng trang 78 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp ở Ví dụ 2, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này.

Ví dụ 2. Trong hộp có bốn quả bóng được đánh số từ 1 đến 4.

Lời giải:

Do hai quả bóng được lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy bóng. Khi đó ta có:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4).

2. Biến cố

Hoạt động khám phá 2 trang 78 Toán lớp 10 Tập 2: Xét trò chơi ở hoạt động khám phá 1.

a) Nếu kết quả của phép thử là (2; 3) thì ai là người chiến thắng?

b) Hãy liệt kê tất cả các phép thử đem lại chiến thắng cho Cường.

Lời giải:

a) Nếu kết quả của phép thử là (2; 3) nghĩa là hai lần gieo ra kết quả khác nhau. Do đó Bình thắng.

b) Cường thắng nghĩa là hai lần gieo phải cho kết quả như nhau. Do đó các kết quả của phép thử đem lại chiến thẳng cho Cường là: {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

Thực hành 2 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm” và C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp 2 lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”.

a) Hãy xác định biến cố B và C bằng cách liệt kê các phần tử.

b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho B và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho C?

Lời giải:

a) Bằng cách liệt kê phần tử ta có:

B = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

C = {(2; 1); (4; 2); (6; 3)}.

b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B và 3 kết quả thuận lợi cho C.

Hoạt động khám phá 3 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau?

D: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”;

E: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Lời giải:

Kết quả của phép thử là một cặp số (i; j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên có xúc xắc thứ nhất và thứ hai.

+) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13 nghĩa là i + j < 13.

Những cặp (i; j) thỏa mãn điều kiện trên là: (i; j) ∈ {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1): (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

Suy ra D = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1): (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

Vậy có tất cả 36 kết quả thuận lợi cho biến cố D.

+) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13 nghĩa là i + j = 13 với 1 ≤ i,j ≤ 6.

Không có cặp (i; j) thỏa mãn điều kiện trên.

Suy ra E = ∅.

Vậy không có kết quả thuận lợi cho biến cố E.

Thực hành 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Trong Ví dụ 4, hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ”;

b) “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào”.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ”, nghĩa là trong ba bạn được chọn có 1 bạn chọn trong bốn bạn nữa và 3 bạn còn lại chọn trong 5 bạn nam.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_4^1.C_5^2=40$.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 40.

b) Gọi B là biến cố “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào”, nghĩa là trong ba bạn được chọn chỉ lấy trong 4 bạn nữ.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $C_4^3=4$

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 4.

Bài tập

Bài 1 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”. Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A.

c) Gọi B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4”. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho B.

Lời giải:

a) Các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; 99.

Khi đó không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; 99}.

b) Các số chính phương nguyên dương nhỏ hơn 100 là: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Khi đó A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

c) Các số nguyên dương chia hết cho 4 là: 4; 8; 12; 16; 20; ...; 96.

Khi đó B = {4; 8; 12; 16; 20; ...; 96}.

Số các kết quả thuận lợi cho B là (96 – 4) : 4 + 1 = 24.

Vậy có 24 kết quả thuận lợi cho B.

Bài 2 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Trong hộp có 3 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 3. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử:

a) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp;

b) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp một thẻ khác từ hộp;

c) Lấy đồng thời 2 thẻ từ hộp.

Lời giải:

a) Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy thẻ. Khi đó không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp là Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}.

b) Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy thẻ. Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ khác từ hộp nên ta có các trường hợp sau:

TH1: Lần 1 rút được thẻ số 1, thì lần 2 chỉ còn thẻ số 2 và thẻ số 3 nên ta có các kết quả: (1; 2); (1; 3).

TH2: Lần 1 rút được thẻ số 2, thì lần 2 chỉ còn thẻ số 1 và thẻ số 3 nên ta có các kết quả: (2; 1); (2; 3).

TH3: Lần 1 rút được thẻ số 3, thì lần 2 chỉ còn thẻ số 1 và thẻ số 2 nên ta có các kết quả: (3; 1); (3; 2).

Khi đó không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3); (3; 1); (3; 2)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử trên là Ω = {(1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3); (3; 1); (3; 2)}.

c) Phép thử lấy đồng thời 2 thẻ từ hộp có không gian mẫu là:

Ω = {(1; 2); (1; 3); (2; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử trên là Ω = {(1; 2); (1; 3); (2; 3)}.

Bài 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Gieo hai con xúc xắc. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”;

b) “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”;

c) “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”.

Lời giải:

Gieo hai con xúc xắc đồng thời. Gọi i và j lần lượt là kết quả của số chấm trên xúc xắc thứ nhất và xúc xắc thứ hai.

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm nghĩa là các cặp (i; j) thỏa mãn |i – j| = 3.

Khi đó các cặp số (i; j) thỏa mãn điều kiện trên là: (1; 4); (2; 5); (3; 6); (6; 3); (5; 2); (4; 1).

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

b) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5 nghĩa là các cặp (i; j) thỏa mãn ij chia hết cho 5.

Khi đó các cặp số (i; j) thỏa mãn điều kiện trên là: (1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (5; 5); (6; 5); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 6).

Vậy có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

c) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ nghĩa là i + j là số lẻ.

Khi đó các cặp số (i; j) thỏa mãn điều kiện trên là: (1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 3); (4; 5); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 3); (6; 5)}.

Vậy có tất cả 18 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Bài 4 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Xếp 4 viên bi xanh và 5 bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Không có hai viên bi trắng xếp liền nhau”;

b) “Bốn viên bị xanh được xếp liền nhau”.

Lời giải:

a) Xếp các viên bi đã cho được chia thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xếp 5 viên bi trắng thành hàng ngang ta có 5! cách xếp.

Giai đoạn 2: Ứng với 5 viên bi trắng đã được xếp vị trí ta xếp 4 viên bi xanh vào bốn khoảng cách được tạo bởi hai bi trắng có 4! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp các viên bi thành một hàng ngang là 5!.4! = 2 880 cách.

Vậy có tất cả 2 880 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

b) Xếp các viên bi đã cho được chia thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xếp 4 viên bi xanh thành hàng ngang ta có 4! cách xếp.

Giai đoạn 2: Ứng với 4 viên bi xanh đã được xếp vị trí ta coi 4 viên bi xanh là một viên bi, cộng với 5 viên bi trắng cần sắp vị trí nghĩa là ta cần xếp 6 viên bi thành một hàng có 6! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp các viên bi thành một hàng ngang là 6!.4! = 17 280 cách.

Vậy có tất cả 17 280 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra