Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 8 trang 36

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 8 trang 36

Bài 1 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra:

a) 1 thành viên của nhóm?

b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Lời giải:

a) Số thành viên của nhóm là 4 + 5 + 6 = 15 (thành viên)

Số cách để nhóm cử ra một thành viên của nhóm tham gia một công việc tình nguyện là tổ hợp chập 1 của 15. Do đó ta có số cách cử một thành viên trong nhóm là:

$C_{15}^1=15$ (cách).

Vậy số cách cử một thành viên trong nhóm là 15 cách.

b) Số cách để nhóm cử ra ba thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau tham gia một công việc tình nguyện là:

$C_4^1.C_5^1.C_6^1=120$ (cách).

Vậy có 120 cách để nhóm cử ra ba thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau tham gia một công việc tình nguyện.

c) Số cách cử ra 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau có thể có 3 phương án khác nhau:

- Phương án 1: 1 thành viên lớp 10A và 1 thành viên lớp 10B, có $C_4^1.C_5^1=20$(cách).

- Phương án 2: 1 thành viên lớp 10B và 1 thành viên lớp 10C, có $C_5^1.C_6^1=30$(cách).

- Phương án 3: 1 thành viên lớp 10A và 1 thành viên lớp 10C, có $C_4^1.C_6^1=24$(cách).

Theo quy tắc cộng, có tất cả 20 + 30 + 24 = 74 cách cử ra 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau tham gia một công việc tình nguyện.

Bài 2 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Một khóa số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9) như Hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có ba chữ số. Để mở khóa, cần xoay các vòng số đề dãy phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khóa?

Lời giải:

Mật mã là một dãy số có ba chữ số nên việc thiết lập mật mã chia làm ba giai đoạn:

- Chữ số đầu tiên có 10 cách chọn;

- Chữ số thứ hai có 10 cách chọn;

- Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có: 10.10.10 = 1 000 mật mã.

Vậy có tất cả 1 000 cách chọn mật mã cho khóa.

Bài 3 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu

a) số tự nhiên có sáu chữ số?

b) số tự nhiên lẻ có sáu chữ số?

c) số tự nhiên có năm chữ số?

d) số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Số tự nhiên có sáu chữ số với 6 chữ số được lấy từ 6 thẻ là hoán vị của 6 chữ số. Do đó số số tự nhiên có sáu chữ số là:

P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số.

Vậy có tất cả 720 số tự nhiên có sáu chữ số lấy từ các tấm thẻ.

b) Việc lập số tự nhiên lẻ có sáu chữ số lấy từ 6 thẻ được chia làm hai giai đoạn:

- Giai đoạn 1. Chọn chữ số hàng đơn vị lấy từ các tấm thẻ có chữ số lẻ {1; 3; 5}, có 3 cách.

- Giai đoạn 2. Chọn 5 chữ số còn lại lấy từ 5 tấm thẻ còn lại là hoán vị của 5 chữ số, do đó có 5! = 120 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: 3.120 = 360 số tự nhiên lẻ có sáu chữ số.

Vậy có 360 số tự nhiên lẻ có sáu chữ số.

c) Số số tự nhiên có năm chữ số được lấy từ 6 tấm thẻ là chỉnh hợp chập 5 của 6, do đó có $A_6^5=720$ số.

Vậy có 720 số tự nhiên có 5 chữ số được lấy từ 6 tấm thẻ.

d) Gọi số tự nhiên có năm chữ số cần tìm là $\overline{abcde}$ (trong đó a, b, c, d, e là các số trên tấm thẻ, a ≠ 0).

Vì $\overline{abcde}$ nên a có thể bằng 5 hoặc 6, nghĩa là a có 2 cách chọn.

Bốn chữ số còn lại được chọn từ số trên bốn tấm thẻ còn lại là hoán vị của 4 chữ số, do đó có 4! = 24 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: 2.24 = 48 số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000.

Bài 4 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Bữa trưa của nhóm khách được chia thành 3 giai đoạn:

- Giai đoạn thứ nhất: Chọn 2 món mặn, có $C_6^2=15$ cách.

- Giai đoạn thứ hai: Ứng với 2 món mặn, chọn 2 món rau có $C_5^2=10$ cách.

- Giai đoạn thứ ba: Ứng với 2 món mặn, 2 món rau, chọn 1 món canh có $C_3^1=3$ cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: 15.10.3 = 450 cách.

Vậy nhóm khách có tất cả 450 cách chọn một bữa trưa.

Bài 5 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Lời giải:

Đặt tên hai đường thẳng song song lần lượt là d, d’ như hình vẽ:

Cách 1: Tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong chín điểm đã cho sao cho ba điểm đó không thẳng hàng. Do đó có hai phương án sau:

- Phương án 1: 2 điểm lấy ở đường thẳng d, 1 điểm ở đường thẳng d’, có $C_4^2.C_5^1=30$ cách.

- Phương án 2: 2 điểm lấy ở đường thẳng d’, 1 điểm ở đường thẳng d, có $C_4^1.C_5^2=40$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có 30 + 40 = 70 (cách).

Vậy có tất cả 70 tam giác thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: Tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong chín điểm đã cho. Ba điểm được lấy ra phải thỏa mãn ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó số tam giác được tạo thành là:

$C_9^3-C_4^3-C_5^3=70$ (tam giác).

Vậy có tất cả 70 tam giác thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài 6 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức:

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$;

b) (2x² + 1)⁵.

Lời giải:

a) Áp dụng nhị thức Newton, ta có:

${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4=C_4^0.a^4+C_4^1.a^3.\left(-\frac{b}{2}\right)+C_4^2.a^2.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2+C_4^3.a.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^3+C_4^4.a.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^4$

$=a^4-2a^{3}b+\frac{3}{2}{a}^2{b}^2-\frac{1}{2}a{b}^3+\frac{1}{16}a{b}^4$

Vậy ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4=a^4-2a^{3}b+\frac{3}{2}{a}^2{b}^2-\frac{1}{2}a{b}^3+\frac{1}{16}a{b}^4$.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton, ta có:

(2x² + 1)⁵ = $C_5^0.{\left(2x^2\right)}^5+C_5^1.{\left(2x^2\right)}^4.1+C_5^2.{\left(2x^2\right)}^3{.1}^2+C_5^3.{\left(2x^2\right)}^2{.1}^3+C_5^4.\left(2x^2\right){.1}^4+C_5^5{.1}^5$

= 32x¹⁰ + 80x⁸ + 80x⁶ + 40x⁴ + 1.

Vậy (2x² + 1)⁵ = 32x¹⁰ + 80x⁴ + 80x⁶ + 40x⁴ + 10x² + 1.

Bài 7 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức

(1 + x)⁴ + (1 – x)⁴.

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị của biểu thức 1,05⁴ + 0,95⁴.

Lời giải:

Ta có:

(1 + x)⁴ = $C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.x+C_4^2{.1}^2.x^2+C_4^3\mathrm{.1.}{x}^3+C_4^4\mathrm{.1.}{x}^4$

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

(1 – x)⁴= $C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.\left(-x\right)+C_4^2{.1}^2.{\left(-x\right)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(-x\right)}^3+C_4^4\mathrm{.1.}{\left(-x\right)}^4$

= 1 – 4x + 6x² – 4x³ + x⁴.

Khi đó (1 + x)⁴ + (1 – x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴ + 1 – 4x + 6x² – 4x³ + x⁴ = 2x⁴ + 12x² + 2.

Xét biểu thức 1,05⁴ + 0,95⁴ = (1 + 0,05)⁴ + (1 – 0,05)⁴

Thay x = 0,05 vào (1 + x)⁴ + (1 – x)⁴ ta có:

(1 + 0,05)⁴ + (1 – 0,05)⁴ = 2(0,05)⁴ + 12.(0,05)² + 2 ≈ 2,03.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ