Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Lời giải:
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AC2 + AB2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 25
BC = 5 (do BC là độ dài đoạn thẳng nên BC > 0)
Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNP ta có:
NP2 = MN2 + MP2 - 2 . MN . MP . cos
NP2 = 42 + 32 - 2 . 4 . 3 . cos 60o
NP2 = 13
NP = (do NP là độ dài đoạn thẳng nên NP > 0)
1. Định lí cosin trong tam giác
Hoạt động khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10 tập 1:
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và .Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong hình 1. Hãy thay dấu bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD , ta có: (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: (2)
(3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có :
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên chứng minh rằng ta cũng có:
c) Cho tam giác ABC vuông tại A.Hãy chứng tỏ công thức có thể viết là
Lời giải
a) Xét tam giác vuông BCD , ta có: (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: (2)
(3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có :
b)
Xét tam giác vuông BCD , ta có: (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: (2)
Vì A là góc tù nên (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có :
c)
Theo đề ta có :
Mà
Nên
Lời giải:
Theo định lí côsin ta có:
≈ 283,39
Theo hệ quả của định lí côsin ta có:
Lời giải:
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm tại vị trí người quan sát và hai điểm ở hai đầu hồ nước.
Áp dụng định lí côsin ta có:
≈ 957 490,99.
BC ≈ ≈ 978,5 m
Vậy khoảng cách giữa hai điểm của một hồ nước là 978,5 m.
2. Định lí sin trong tam giác
Hoạt động khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
i) Tính sin theo a và R.
ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc và . Từ đó chứng minh rằng 2R = .
b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = .
Lời giải:
a)
i) Vì BD là đường kính nên .
Xét tam giác BCD vuông tại C, có:
(1)
ii)
TH1. Nếu góc A nhọn (Hình 6a) thì:
Ta có hai góc nội tiếp và cùng chắn cung BC nên = (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: .
TH2. Nếu góc A tù (Hình 6b) thì:
Ta có
⇒ = (3)
Từ (1) và (3) ta suy ra: .
b)
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC nên BC = a = 2R.
sinA =
Hay
Lời giải:
Ta có:
Áp dụng định lí sin vào tam giác MNP ta có:
Suy ra:
Vậy MN = 22, MP ≈ 36,48 và .
Lời giải:
Gọi A, B, C, D lần lượt là vị trí của tháp canh , bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, điểm cháy
Xét tam giác ACD, ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác ACD, ta có:
≈ 1 509,32 m (1)
≈ 2 155,54 m
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD, ta có:
≈ 1 205,43 m (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: BD < CD nên dẫn lửa từ bồn chứa nước A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Hoạt động khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC như Hình 10.
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và ha.
b) Tính ha theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức .
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức .
Lời giải:
a) (1)
b)Xét ∆AHC vuông tại H có: (2)
c) Thay (2) vào (1) ta có: (3)
d) Áp dụng định lí sin ta có: (4)
Thay (4) vào (3) ta được: (đpcm)
a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b) Dùng công thức trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:
Lời giải:
a)
Tương tự ta có:
b) (đpcm)
a) Các cạnh b = 14, c = 35 và .
b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.
Lời giải:
a)
Áp dụng định lí côsin ta có:
Mặt khác ta có:
b) Ta có:
Áp dụng công thức Heron ta có:
Mặt khác ta có :
Lời giải:
Gọi A, B, C lần lượt là 3 đỉnh của cánh thuyền buồm.
Ta có:
Áp dụng định lí sin ta có:
3,2 . 5,24 . sin 105o ≈ 8,1 m2.
Vậy diện tích cánh buồm hình tam giác là 8,1 m2.
Bài tập
Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
x2 = 6,52 + 52 – 2.6,5.5.cos 72° ≈ 47,16
Vậy x ≈ 6,87.
b) Áp dụng định lí côsin ta có:
Vậy x ≈ 0,47.
Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Lời giải:
Áp dụng định lí sin ta có:
Vậy c ≈ 20,21.
Lời giải:
Ta có:
Áp dụng định lí sin ta có:
Vậy , AB ≈ 206,82, AC ≈232,13, R ≈ 118,24.
Giải Toán 10 trang 73 Tập 1
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
Vậy .
Lời giải:
Vì lá cờ hình tam giác cân nên độ dài hai cạnh bên bằng nhau và bằng 90cm.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta được
Vậy diện tích lá cờ là 2322,98 cm2.
Bài 6 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và .
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
Lời giải:
a)
b)
Áp dụng định lí côsin ta có:
Ta có: (áp dụng định lí sin)
Mặt khác, ta có: và cùng chắn cung BC
Mà là góc nội tiếp và góc ở tâm
Nên
Vậy
a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác GBC.
Lời giải:
a) Ta có:
Áp dụng công thức Heron ta có:
b) Gọi K và I là lần lượt là hình chiếu của A và G lên BC
Áp dụng hệ quả của định lí Thales :
Lời giải:
Ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (3)
Áp dụng định lí sin ta có: (4)
Thay (4) vào (3) ta được:
Bài 9 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a) Chứng minh
b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Theo đề ta có: (1)
Xét tam giác BCE vuông tại E ta có: (2)
Xét tam giác BDA vuông tại D ta có: (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được : ( Vì góc B nhọn)
Mặt khác,
Áp dụng định lí sin cho tam giác BED ta có:
Xét tam giác BED và BCA ta có:
Góc B chung
và
Vậy tam giác AED đồng dạng với tam giác BCA nên
Theo đề ta có:
a) Chứng minh
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.
Lời giải:
a) Ta có:
Ta có:
b) Trong trường hợp AC ⊥ BD thì nên .
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ