Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Hoạt động khởi động trang 65 Toán lớp 10 Tập 1Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC2 = AC2 + AB2

 BC2 = 32 + 42

 BC2 = 25

 BC = 5 (do BC là độ dài đoạn thẳng nên BC > 0)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNP ta có:

NP2 = MN2 + MP2 - 2 . MN . MP . cos M^

 NP2 = 42 + 32 - 2 . 4 . 3 . cos 60o

 NP2 = 13

 NP = 13 (do NP là độ dài đoạn thẳng nên NP > 0)

1. Định lí cosin trong tam giác

Hoạt động khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10 tập 1:

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn (ảnh 1)

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và C^B^.Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong hình 1. Hãy thay dấu ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a2=b2+c22bccosA theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD , ta có: a2=d2+(cx)2=d2+c2+x22cx (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   b2=d2+x2d2=b2x2                (2)

                                                     cosA=?b?=bcosA                  (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2=b2+c22bccosA

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên chứng minh rằng ta cũng có:

a2=b2+c22bccosA

c) Cho tam giác ABC vuông tại A.Hãy chứng tỏ công thức a2=b2+c22bccosA có thể viết là a2=b2+c2

Lời giải

a) Xét tam giác vuông BCD , ta có: a2=d2+(cx)2=d2+c2+x22cx (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   b2=d2+x2d2=b2x2                    (2)

                                                     cosA=xbx=bcosA                       (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2=b2+c22bccosA

b)

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn (ảnh 1)

Xét tam giác vuông BCD , ta có: a2=d2+(c+x)2=d2+c2+x2+2cx     (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   b2=d2+x2d2=b2x2                    (2)

                      Vì A là góc tù nên  cosA=xbx=bcosA                      (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2=b2+c22bccosA         

c)

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn (ảnh 1)

Theo đề ta có : a2=b2+c22bccosA

Mà cosA=cos900=0

Nên a2=b2+c22bc.0=c2+b2

Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Theo định lí côsin ta có: BC2=AB2+AC22AB.AC.cosA

=142+1822.14.18.cos620≈ 283,39

BC283,3916,83

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB=AB2+BC2AC22.AB.BC=142+16,8321822.14.16,830,3294

B^70°46'

C^1800(A^+B^)47015'

Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70° (Hình 5).

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi A, B, C lần lượt là các điểm tại vị trí người quan sát và hai điểm ở hai đầu hồ nước.

Áp dụng định lí côsin ta có:

BC2=AB2+AC22AB.AC.cosA

=8002+90022.800.900.cos70° ≈ 957 490,99.

 BC ≈ 957490,99 ≈ 978,5 m

Vậy khoảng cách giữa hai điểm của một hồ nước là 978,5 m.

2. Định lí sin trong tam giác

Hoạt động khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính sinBDC^  theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc BAC^  và BDC^. Từ đó chứng minh rằng 2R = asinA.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = asinA.

Lời giải:

a)

i) Vì BD là đường kính nên BCD^=90°.

Xét tam giác BCD vuông tại C, có:

sinBDC^=BCBD=a2R        (1)

ii)

TH1. Nếu góc A nhọn (Hình 6a) thì:

Ta có hai góc nội tiếp BAC^ và BDC^cùng chắn cung BC nên BAC^ = BDC^      (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: sinA=a2R2R=asinA.

TH2. Nếu góc A tù (Hình 6b) thì:

Ta có BAC^+BDC^=180°BAC^=180°BDC^ 

 sinBAC^ = sin180°BDC^=sinBDC^      (3)

Từ (1) và (3) ta suy ra: sinA=a2R2R=asinA.

b)

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC nên BC = a = 2R.

sinA = sin900=1 

Hay 2R=asinA

Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có:P^=1800(N^+M^)=340

Áp dụng định lí sin vào tam giác MNP ta có:NPsinM=MPsinN=MNsinP

Suy ra:

MP=NP.sinNsinM=22.sin112°sin34°36,48

MN=NP.sinPsinM=22.sin34sin34=22

Vậy MN = 22, MP ≈ 36,48 và P^=34°.

Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn.Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi A, B, C, D lần lượt là vị trí của tháp canh , bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, điểm cháy

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Xét tam giác ACD, ta có: ADC^=1800(DAC^+C^)=200

Áp dụng định lí sin trong tam giác ACD, ta có:

CDsinCAD^=ACsinADC^CD=AC.sinCAD^sinADC^=900.sin350sin200 ≈ 1 509,32 m (1)

ADsinC^=ACsinADC^AD=AC.sinC^sinADC^=900.sin1250sin200≈ 2 155,54 m

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD, ta có:

BD2=AB2+AD22.AB.AD.cosBAD^

=18002+2155,5422.1800.2155,54.cos3401  453  067,555

BD=1  453  067,555 ≈ 1 205,43 m (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: BD < CD nên dẫn lửa từ bồn chứa nước A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Hoạt động khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC như Hình 10.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và ha.

b) Tính ha theo b và sinC.

c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S=12absinC .

d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức  S=abc4R.

Lời giải:

a) SABC=12.AH.BC=12.ha.a (1)

b)Xét ∆AHC vuông tại H có: sinC=AHAC=habha=b.sinC (2)

c) Thay (2) vào (1) ta có: S=12bsinC.a=12absinC   (3)

d) Áp dụng định lí sin ta có:csinC=2RsinC=c2R (4)

Thay (4) vào (3) ta được: S=12ab.c2R=abc4R (đpcm)

Hoạt động khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b) Dùng công thức trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:

S=r(a+b+c)2

Lời giải:

a)SIBC=12r.BC=12ar

Tương tự ta có:

SIAB=12crSIAC=12br

b) SABC=SIBC+SIAC+SIAB=12ar+12br+12cr=r(a+b+c)2 (đpcm)

Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và A^=60o .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Lời giải:

a) SABC=12bcsinA=12.14.35.sin600212,18

Áp dụng định lí côsin ta có:

a2=b2+c22bccosA=142+3522.14.35.cos600=931a=931=719

Mặt khác ta có: SABC=abc4RR=abc4SABC=14.35.7194.212,1817,62

b) Ta có: p=12.(4+5+3)=6

Áp dụng công thức Heron ta có:

SABC=p(pa)(pb)(pc)=6(64)(65)(63)=6

Mặt khác ta có :SABC=abc4RR=abc4SABC=4.5.34.6=2,5

Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi A, B, C lần lượt là 3 đỉnh của cánh thuyền buồm.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: C^=1800(A^+B^)=1800(480+1050)=270

Áp dụng định lí sin ta có:

BCsinA=ABsinCBC=AB.sinAsinC=3,2.sin480sin2705,24m

SABC=12AB.BC.sinB=12. 3,2 . 5,24 . sin 105o ≈ 8,1 m2.

Vậy diện tích cánh buồm hình tam giác là 8,1 m2.

Bài tập

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

x2 = 6,52 + 52 – 2.6,5.5.cos 72° ≈ 47,16

x=47,166,87

Vậy x ≈ 6,87.

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

x2=132+1522.13.15.cos12300,22

x=0,220,47

Vậy x ≈ 0,47.

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Áp dụng định lí sin ta có:

ABsinC=ACsinBAB=c=AC.sinCsinB=12.sin1050sin35020,21

Vậy c ≈ 20,21.

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, B^=79°;C^=61°. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: A^=180°(79°+61°)=40°

Áp dụng định lí sin ta có:

BCsinA=ABsinC=ACsinB=2R

AB=BC.sinCsinA=152.sin61°sin40°206,82

AC=BC.sinBsinA=152.sin79°sin40°232,13

R=BC2sinA=1522.sin40°118,24

Vậy A^=40°, AB ≈ 206,82, AC ≈232,13, R ≈ 118,24.

Giải Toán 10 trang 73 Tập 1

Bài 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA=AC2+AB2BC22.AC.AB=7002+500280022.700.500=17

A^81047'

cosB=BC2+AB2AC22.BC.AB=8002+500270022.800.500=12

B^=600

 

C^=1800(81047'+600)38013'

Vậy A^81°47',B^=60°,C^38°13'.

Bài 5 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Vì lá cờ hình tam giác cân nên độ dài hai cạnh bên bằng nhau và bằng 90cm.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta được

S=1290.90.sin35°2322,98cm2

Vậy diện tích lá cờ là 2322,98 cm2.

Bài 6 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và A^=60o.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) SABC=12AB.AC.sinA=126.8.sin600=123

b)
Áp dụng định lí côsin ta có:

BC2=AB2+AC22AB.AC.cosA=82+622.8.6.cos600=52BC=52

Ta có: R=IB=IC=BC2sinA=522sin600=2393(áp dụng định lí sin)

Mặt khác, ta có: CAB^ và CIB^ cùng chắn cung BC

Mà CAB^ là góc nội tiếp và  CIB^ góc ở tâm

Nên CIB^=2CAB^=2.600=1200

Vậy SIBC=12.IB.IC.sinCIB^=12.23932.sin1200=1333

Bài 7 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Ta có: p=12(15+18+27)=30

Áp dụng công thức Heron ta có:

SABC=30.(3015).(3018).(3027)=902r=SABCp=90230=32

b) Gọi K và I là lần lượt là hình chiếu của A và G lên BC

Áp dụng hệ quả của định lí Thales : IGKA=GLAL=13

SGBCSABC=12.GI.BC12AK.BC=GIAK=13SGBC=13.SABC=13.902=302

Bài 8 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có:SABC=12ha.BC         (1)

Mà SABC=12AC.BC.sinC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra :ha=AC.sinC  (3)

Áp dụng định lí sin ta có: ACsinB=2RAC=2RsinB  (4)

Thay (4) vào (3) ta được: ha=2RsinBsinC

Bài 9 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh SBDESBAC=BD.BEBA.BC

b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = 22. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Ta có: SBDESBAC=12.BE.BD.sinB12.BA.BC.sinB=BE.BDBA.BC

b) Theo đề ta có: SBDESABC=BD.BEBA.BC=BDBA.BEBC=19 (1)

Xét tam giác BCE vuông tại E ta có: cosB=BEBC (2)

Xét tam giác BDA vuông tại D ta có: cosB=BDBA (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được :cos2B=19cosB=13 ( Vì góc B nhọn)

Mặt khác, sin2B+cos2B=1sin2B=119=89sinB=223

Áp dụng định lí sin cho tam giác BED ta có:R'=ED2sinB=32

Xét tam giác BED và BCA ta có:

Góc B chung

BEBC=13và BDBA=13

Vậy tam giác AED đồng dạng với tam giác BCA nên EDCA=13

Theo đề ta có:

SBDESABC=BD.BE.DE4R'BA.BC.AC4R=BDBA.BEBC.DEAC.RR'=127.RR'=19

R=3R'=3.32=92

Bài 10 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh S=12xysinα

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Ta  có: BOA^=DOC^=180°α

Ta có: SABCD=SAOD+SBOC+SAOB+SDOC

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Trong trường hợp AC ⊥ BD thì α=900sinα=1 nên S=12xy.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Câu hỏi liên quan

a) Ta có
Xem thêm
Áp dụng định lí côsin ta có:
Xem thêm
ta có:
Xem thêm
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
Xem thêm
Thay (4) vào (3) ta được: 
Xem thêm
Áp dụng định lí sin ta có:
Xem thêm
Gọi A, B, C lần lượt là 3 đỉnh của cánh thuyền buồm.
Xem thêm
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
Xem thêm
Vì lá cờ hình tam giác cân nên độ dài hai cạnh bên bằng nhau và bằng 90cm.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Định lí côsin và định lí sin
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!