Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau: a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9

Bài 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Trả lời

a) Phương trình có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9 là:

(x + 2)² + (y – 4)² = 9²

⇔ x² + 4x + 4 + y220 – 8y + 16 = 81

⇔ x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{IA}$ = (3; 3) ⇒ IA = |$\overrightarrow{IA}$| = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $3\sqrt{2}$.

Đường tròn cần tìm có tâm I và đi qua điểm A nên độ dài đoạn thẳng IA bằng bán kính của đường tròn nên R = $3\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là:

(x – 1)² + (y – 2)² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2$

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 18

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)² + (y – 2)² = 18.

c) Xét phương trình đường thẳng 4x + y – 16 = 0 đi qua điểm M(4; 0) có VTPT là $\overrightarrow{n}$(4; 1), khi đó VTCP của đường thẳng là $\overrightarrow{u}$(1; -4).

Phương trình tham số của đường thẳng là: 

Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm.

Vì I nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0 nên I(4 + t; -4t).

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left(-t;4t+1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}$

$\overrightarrow{IB}=\left(-t+2;4t+5\right)\Rightarrow IB=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

Vì đường tròn đi qua hai điểm A và B nhận I làm tâm nên IA = IB = R.

$\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

⇔ t² + 16t² + 8t + 1 = t² – 4t + 4 + 16t² + 40t + 25

⇔ - 28t = 28

⇔ t = - 1

⇒ I(3; 4) và $IA=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(4.(-1)+1\right)}^2}=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn tâm I(3; 4) và có bán kính $\sqrt{10}$ là:

(x – 3)² + (y – 4)² = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2$

⇔ (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

d) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.

Ta có hình vẽ sau:

Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy

⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{a}{2}$.

⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{b}{2}$.

⇒ I$\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right)$

⇒ $\overrightarrow{IO}=\left(0-\frac{a}{2};0-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)$ ⇒ IA = $\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10