Cổng trào của một thành phố dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng

Bài 17 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Cổng trào của một thành phố dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng.

Trả lời

Ta có hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng y² = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là h (m) ⇒ OC = h

Ta có khoảng cách đến mặt đất là 2m nên MH = 2 ⇒ OK = h – 2 và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m nên AH = 0,5.

Ta lại có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m nên AC = 192:2 = 96.

Khi đó tọa độ điểm A là A(h; 96)

Mà AH + CH = AC

⇒ CH = AC – AH = 96 – 0,5 = 95,5

⇒ M(h – 2; 95,5).

Vì các điểm M và A thuộc parabol nên tọa độ của M và A đều thỏa mãn phương trình y² = 2px, ta có:

96² = 2ph (1) và 95,5² = 2p(h – 2) (2)

Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:

$\frac{{96}^2}{95,5^2}=\frac{h}{h-2}$

⇔ 9 216(h – 2) = 9 120,25h

⇔ 9 216h – 18 432 = 9 120,25h

⇔ 95,75h = 18 432

⇔ h ≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5m.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10