Giải Toán 10 Bài 6: Ba đường conic
Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?
Lời giải
Sau bài học này, ta sẽ biết đường conic gồm đường parabol, đường elip, đường hypebol và cách xác định phương trình của mỗi loại đường conic trên.
I. Đường Elip
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF1 + MF2?
Lời giải
Theo bài ra ta thấy tổng MF1 + MF2 luôn bằng độ dài vòng dây kín không đàn hồi.
Vậy khi M thay đổi, tổng MF1 + MF2 là một độ dài không đổi.
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F1F2, trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F1(– c; 0) và F2(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) A1(– a; 0) và A2(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
b) B1(0; – b) và B2(0; b), ở đó , đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Lời giải
a) (vì a > c > 0 nên a – c > 0).
Suy ra A1F1 + A2F2 = (a – c) + (a + c) = 2a.
Vậy điểm A1(– a; 0) thuộc elip (E).
Mà A1(– a; 0) thuộc trục Ox nên A1(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
Tương tự, ta chứng minh được A2(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
b) Ta có:
(vì nên và a > 0 nên |a| = a).
Tương tự: (do a > 0).
Suy ra B2F1 = B2F2 = a nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a.
Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E).
Mà B2(0; b) thuộc trung Oy nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được: B1(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: .
Vì elip (E) đi qua điểm M(0; 3) nên .
Vì elip (E) đi qua điểm nên .
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: .
II. Đường Hypebol
Cho thước quay quanh điểm B (trùng F1), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF1 – MF2?
Lời giải
Khi M thay đổi, hiệu
MF1 – MF2 = (MF1 + MA) – (MF2 + MA) = AB – l không đổi.
Vậy khi M thay đổi hiệu MF1 – MF2 không thay đổi.
Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F1F2, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F1F2 (Hình 54).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F1, F2.
b) Nêu dự đoán thích hợp cho ? trong bảng sau:
Lời giải
a) Oy là đường trung trực của F1F2, do đó O là trung điểm của F1F2.
Suy ra OF1 = OF2 = .
Điểm F1 thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O nên F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O nên F2(c; 0).
b) Dựa vào bảng, ta dự đoán kí hiệu thích hợp cho ? là dấu “–”.
Điền vào bảng như sau:
III. Đường Parabol
Lời giải
Ta có: 4x2 – 9y2 = 1
.
Vậy phương trình hypebol đã cho được viết dưới dạng phương trình chính tắc là
.
Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?
Lời giải
Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (= AB).
Do đó MA = MF.
Lại có MA vuông góc với ∆ tại A, do đó MA là khoảng cách từ M đến ∆.
Vậy khi M thay đổi khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆.
Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).
Suy ra: và phương trình đường thẳng ∆ là
Do đó khoảng cách từ M(x; y) ∈ (P) đến đường thẳng ∆ là .
Ta có: M(x; y) ∈ (P) khi và chỉ khi độ dài MF bằng khoảng cách từ M tới ∆, tức là:
.
Lời giải
Xem hoạt động để nhận biết được cách xây dựng phương trình chính tắc của đường parabol.
Luyện tập 3 trang 100 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:
a)
b) x – y2 = 0.
Lời giải
a) Ta có: .
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y2 = 2 . 2x với p = 2.
b) Ta có: x – y2 = 0 ⇔ y2 = x ⇔ y2 = 2 . x.
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y2 = 2 . x với p = .
Bài tập
Bài 1 trang 102 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng với a > b > 0.
+ Đáp án a, ta thấy a2 = b2 = 64, không thỏa mãn điều kiện a > b > 0.
+ Đáp án b, không phải dạng của phương trình chính tắc của elip.
+ Đáp án c, ta có a2 = 64, b2 = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.
+ Đáp án d, ta thấy a2 = 25, b2 = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.
Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình c) là phương trình chính tắc của elip.
Lời giải
Ta có:
+ Trục hoành Ox: y = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục hoành là nghiệm của hệ
.
Giải hệ trên ta được 2 nghiệm (7; 0) và (– 7; 0).
Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A1(– 7; 0), A2(7; 0).
+ Trục tung Oy: x = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục tung là nghiệm của hệ
.
Giải hệ trên ta được 2 nghiệm là (0; – 5), (0; 5).
Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B1(0; – 5), B2(0; 5).
+ Ta có:
Vì a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.
Suy ra c2 = a2 – b2 = 72 – 52 = 24.
Do đó, .
Vậy tọa độ các tiêu điểm của (E) là .
Lời giải
Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng với a > b > 0.
+ Elip (E) cắt trục Ox tại A1(– 5; 0) nên .
Do a > 0 nên a = 5.
+ Elip (E) cắt trục Oy tại nên
Do b > 0 nên .
Vì 5 > nên a > b > 0 (thỏa mãn).
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là .
Lời giải
Phương trình chính tắc của elip cần lập có dạng với a > b > 0.
+ Trục Oy là đường trung trực của đoạn A1A2 nên O là trung điểm của A1A2
Suy ra OA2 = .
Vì điểm A2 nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O nên A2(384 800; 0).
Điểm A2 thuộc elip (E) nên
(do a > 0).
+ Trục Ox là đường trung trực của đoạn B1B2 nên O là trung điểm của B1B2
Suy ra OB2 = .
Vì điểm B2 nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O nên B2(0; 383 809,5).
Elip (E) cắt trục Oy tại B2(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:
(do b > 0).
Do 384 800 > 383 809,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn).
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là .
Bài 5 trang 102 Toán 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng với a > 0, b > 0.
+ Phương trình ở đáp án a không có dạng trên nên đây không phải phương trình chính tắc của hypebol.
+ Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0. Cụ thể
- Đáp án b: a = b = 3 > 0.
- Đáp án c: a = 3 > 0, b = 8 > 0.
- Đáp án d: a = 8 > 0, b = 3 > 0.
Vậy các phương trình ở đáp án b, c, d là phương trình chính tắc của hypebol.
Bài 6 trang 102 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b) .
Lời giải
a) Ta có: .
Suy ra hypebol có a2 = 9, b2 = 16.
Do đó, c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25.
Từ đó suy ra c = 5.
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F1(– 5; 0) và F2(5; 0).
b) Ta có:
Suy ra hypebol có a2 = 36, b2 = 25.
Do đó, c2 = a2 + b2 = 36 + 25 = 61
Từ đó suy ra .
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F1(–; 0) và F2(; 0).
Lời giải
Gọi dạng của phương trình chính tắc của hypebol (H) là với a > 0, b > 0.
+ Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3 nên tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là điểm (3; 0). Khi đó ta có:
(do a > 0).
+ Điểm nên (do b > 0).
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là .
Bài 8 trang 102 Toán 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
a) y2 = – 2x;
b) y2 = 2x;
c) x2 = – 2y;
d) .
Lời giải
Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (với p > 0).
a) y2 = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.
b) y2 = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.
c) Phương trình x2 = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.
d) Ta có: , vì nên đây là phương trình chính tắc của parabol với .
Vậy trong các đáp án đã cho thì phương trình ở đáp án b và d là phương trình chính tắc của parabol.
a) ;
b) .
Lời giải
a) Ta có: .
Suy ra parabol có p = (thỏa mãn p > 0).
Ta có: .
Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là và phương trình đường chuẩn là .
b) Ta có: .
Suy ra parabol có p = (thỏa mãn p > 0).
Ta có: .
Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là và phương trình đường chuẩn là .
Lời giải
Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol là y2 = 2px (với p > 0).
Vì tiêu điểm của parabol là F(6; 0). Suy ra .
Vậy phương trình chính tắc của parabol là y2 = 2 . 12 x hay y2 = 24x.
Lời giải
Do AB = 40 và Ox là đường trung trực của đoạn AB.
Suy ra khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là . (1)
Chiều sâu h bằng khoảng cách từ O đến AB và h = 30.
Suy ra khoảng cách từ điểm A đến trục Oy là 30. (2)
Từ (1) và (2) suy ra, parabol đi qua điểm A(30; 20).
Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (với p > 0).
Khi đó ta có: 202 = 2p . 30 ⇔ 60p = 400 ⇔ p = (thỏa mãn p > 0).
Vậy phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn bài toán là .
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 3: Phương trình đường thẳng
Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng