Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c (với a > c > 0)

Hoạt động 2 trang 94 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c (với a > c > 0).

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(– c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) A₁(– a; 0) và A₂(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) B₁(0; – b) và B₂(0; b), ở đó $b=\sqrt{a^2-c^2}$, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Trả lời

a) $A_1{F}_1=\sqrt{{\left(\left(-c\right)-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\left|-c+a\right|=a-c$ (vì a > c > 0 nên a – c > 0).

$A_1{F}_2=\sqrt{{\left(c-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\left|a+c\right|=a+c$

Suy ra A₁F₁ + A₂F₂ = (a – c) + (a + c) = 2a.

Vậy điểm A₁(– a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁(– a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) Ta có:

$B_2{F}_1=\sqrt{{\left(-c-0\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2}=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2}=\left|a\right|=a$

(vì $b=\sqrt{a^2-c^2}$ nên $b^2=a^2-c^2\iff a^2=b^2+c^2$ và a > 0 nên |a| = a).

Tương tự: $B_2{F}_2=\sqrt{{\left(c-0\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2}=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2}=a$ (do a > 0).

Suy ra B₂F₁ = B₂F₂ = a nên B₂F₁ + B₂F₂ = a + a = 2a.

Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E).

Mà B₂(0; b) thuộc trung Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được: B₁(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Thực hành phần mềm Geogebra