Giải SGK Toán 10 (Cánh diều) Bài 3: Phương trình đường thẳng

Giải Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Câu hỏi khởi động trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Một máy bay cất cánh từ sân bay theo một đường thẳng nghiêng với phương nằm ngang một góc 20°, vận tốc cất cánh là 200 km/h. Hình 24 minh họa hình ảnh đường bay của máy bay trên ra màn hình ra đa của bộ phận không lưu. Để xác định vị trí của máy bay tại những thời điểm quan trọng (chẳng hạn: 30 s, 60 s, 90 s, 120 s), người ta phải lập phương trình đường thẳng mô tả đường bay.

Làm thế nào để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết, để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, ta cần biết 1 điểm đi qua và 1 vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

I. Phương trình tham số của đường thẳng

Hoạt động 1 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆. Vẽ vectơ $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\right)$ có giá song song (hoặc trùng) với đường thẳng ∆ (Hình 25).

Lời giải:

Cách vẽ:

- Vẽ 1 đoạn thẳng bất kì song song với đường thẳng ∆.

- Đánh dấu mũi tên chiều của đoạn thẳng đó, ta được 1 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hoạt động 2 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$. Xét điểm M(x; y) nằm trên ∆ (Hình 26).

a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$.

b) Chứng minh có số thực t sao cho $\overrightarrow{M_{0}M}=t\overrightarrow{u}$.

c) Biểu diễn tọa độ của điểm M qua tọa độ của điểm M₀ và tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ và M, nên đường thẳng ∆ chính là đường thẳng MM₀. Khi đó vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ có giá chính là đường thẳng ∆.

Vectơ $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ phải song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ có giá song song hoặc trùng nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ cùng phương.

b) Theo câu a, hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ cùng phương nên có số thực t sao cho $\overrightarrow{M_{0}M}=t\overrightarrow{u}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0\right),\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$.

II. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Luyện tập 1 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số

a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng Δ.

b) Điểm nào trong các điểm C(– 1; – 1), D(1; 3) thuộc đường thẳng Δ.

Lời giải:

Điểm A(1; – 2) thuộc đường thẳng ∆.

+ Ứng với t = 1 ta có

Điểm B(– 1; – 1) thuộc đường thẳng ∆.

Chú ý: Ta chỉ cần lấy một số thực t bất kì thay vào phương trình tham số, ta sẽ được tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng ∆.

b) Theo câu a) điểm B(– 1; – 1) thuộc đường thẳng Δ ứng với t = 1, khi đó C ≡ B.

Vậy điểm C(– 1; – 1) thuộc đường thẳng ∆.

Thay tọa độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng Δ ta được:

Vậy điểm D(1; 3) không thuộc đường thẳng ∆.

Hoạt động 3 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆. Vẽ vectơ $\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\right)$ có giá vuông góc với đường thẳng ∆ (Hình 27).

Lời giải:

Cách vẽ:

- vẽ 1 đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng ∆.

- Vẽ hướng mũi tên trên đoạn thẳng đó, ta được vectơ chỉ phương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hoạt động 4 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$. Xét điểm M(x; y) nằm trên ∆ (Hình 28)

a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa tọa độ của điểm M với tọa độ của điểm M₀ và tọa độ của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Lời giải:

a) Vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng ∆.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ và M, nên đường thẳng ∆ chính là đường thẳng MM₀. Khi đó vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ có giá chính là đường thẳng ∆.

Do đó giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ và giá của vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ vuông góc với nhau.

Vậy hai vectơ hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ không cùng phương.

b) Ta có: $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0\right),\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

Xét điểm M(x; y) thuộc ∆. Vì $\overrightarrow{M_{0}M}\perp \overrightarrow{n}$ nên

$\overrightarrow{M_{0}M}.\overrightarrow{n}=0\iff$a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by – ax₀ – by₀ = 0.

Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0.

a) Chỉ ra tọa độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của Δ.

b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc Δ.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0.

Suy ra đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)$.

Do đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$.

b) Cho x = 1 thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: 1 – y + 1 = 0 ⇔ y = 2.

Do đó, điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng ∆.

Tương tự, cho x = 0, ta được: 0 – y + 1 = 0 ⇔ y = 1.

Vậy điểm B(0; 1) thuộc đường thẳng ∆.

Hoạt động 5 trang 76 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (a hoặc b khác 0). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng ∆ với các trục tọa độ trong mỗi trường hợp sau:

a) b = 0 và a ≠ 0.

b) b ≠ 0 và a = 0.

c) b ≠ 0 và a ≠ 0.

Lời giải:

a) Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành ax + c = 0.

Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm $\left(-\frac{c}{a};0\right)$

b) Nếu b ≠ 0 và a = 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành by + c = 0.

Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm $\left(0;-\frac{c}{b}\right)$

c) Nếu b ≠ 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ có thể viết thành

.$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$

Khi đó, đường thẳng ∆ là đồ thị hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ với hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$.

Bài tập

Bài 1 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(– 1; 2) và

a) Có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$.

b) Có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-2;3\right)$.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 2) nhận $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-2;3\right)$ , suy ra ∆ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 2) nhận $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

Bài 2 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình mỗi đường thẳng trong các Hình 34, 35, 36, 37 sau đây:

Lời giải:

* Quan sát Hình 34, ta thấy đường thẳng ∆₁ đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4).

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)$.

* Quan sát Hình 35, ta thấy đường thẳng ∆₂ đi qua hai điểm C(2; 4) và D(0; 1).

Ta có: $\overrightarrow{DC}=\left(2;3\right)$.

* Quan sát Hình 36, ta thấy đường thẳng ∆₃ song song với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm E$\left(-\frac{5}{2};0\right)$ .

Do đó, phương trình đường thẳng ∆₃ là $x=-\frac{5}{2}$ hay 2x + 5 = 0.

* Quan sát Hình 37, ta thấy đường thẳng ∆₄ song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm F(0; 3).

Do đó, phương trình đường thẳng ∆₄ là y = 3 hay y – 3 = 0.

Chú ý: Với các phương trình tham số của đường thẳng, ta có thể tùy chọn các điểm đi qua khác nhau và vectơ chỉ phương khác nhau để viết phương trình tham số.

Bài 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số là:

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy.

c) Đường thẳng d có đi qua điểm M (– 7; 5) hay không?

Lời giải:

a) Đường thẳng d có phương trình tham số là:

Suy ra d có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-3;2\right)$, do đó d có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$

Ứng với t = 0, ta có

Do đó điểm A(– 1; 2) thuộc đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2(x + 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 4 = 0.

b) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Ox và Oy.

Vì H thuộc Ox nên gọi tọa độ H(a; 0).

Do H thuộc d nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được: 2 . a + 3 . 0 – 4 = 0 ⇔ a = 2.

Vậy H(2; 0).

Vì điểm K thuộc Oy nên gọi tọa độ K(0; b).

Do K thuộc d nên tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được:

2 . 0 + 3 . b – 4 = 0 ⇔ b = $\frac{4}{3}$.

Vậy $K\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy lần lượt là các điểm H(2; 0) và $K\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

c) Thay tọa độ điểm M(– 7; 5) vào phương trình tổng quát của đường thẳng d ta được:

2 . (– 7) + 3 . 5 – 4 = 0 ⇔ – 3 = 0 (vô lý).

Vậy điểm M(– 7; 5) không thuộc đường thẳng d hay đường thẳng d không đi qua điểm M(– 7; 5).

Bài 4 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc tọa độ.

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Lời giải:

a) Đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

Suy ra d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$.

Do đó d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Với y = 0 thay vào phương trình tổng quát của d ta được: x – 2 . 0 – 5 = 0 ⇔ x = 5.

Suy ra điểm A(5; 0) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=t\end{array}\right.$ (t là tham số).

b) Vì điểm M thuộc đường thẳng d nên ta gọi tọa độ điểm M(5 + 2t; t).

Với O là gốc tọa độ, ta có: $\overrightarrow{OM}=\left(5+2t;t\right)$, suy ra $OM=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}$.

Theo bài ra ta có OM = 5.

Do đó: $\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}=5$

⇒ (5 + 2t)² + t² = 25 (bình phương cả hai vế)

⇔ 25 + 20t + 4t² + t² = 25

⇔ 5t² + 20t = 0

⇔ t² + 4t = 0

⇔ t(t + 4) = 0

⇔ t = 0 hoặc t = – 4.

+ Với t = 0 thì tọa độ M(5; 0).

+ Với t = – 4 thì tọa độ M(– 3; – 4).

Vậy M(5; 0) hoặc M(– 3; – 4) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Vì điểm N thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ điểm N(5 + 2t; t).

Gọi hình chiếu của N lên trục hoành Ox là E.

E thuộc trục hoành nên E có tung độ bằng 0 và E là hình chiếu của N lên Ox nên hoành độ của điểm E bằng hoành độ của điểm N.

Suy ra tọa độ của điểm E là E(5 + 2t; 0).

Khoảng cách từ N đến trục hoành Ox chính bằng đoạn thẳng NE.

Do đó NE = 3.

Ta có: $\overrightarrow{NE}=\left(0;-t\right)$

Suy ra $NE=\left|\overrightarrow{NE}\right|=\sqrt{0^2+{\left(-t\right)}^2}=\sqrt{t^2}=\left|t\right|$.

Do đó: |t| = 3, suy ra t = 3 hoặc t = – 3.

+ Với t = 3 thì N(11; 3).

+ Với t = – 3 thì N(– 1; – 3).

Vậy N(11; 3) hoặc N(– 1; – 3) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(– 1; – 1); C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC.

b) Đường trung trực cạnh AB.

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải:

a) * Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4\right)$.

Do đó đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\left(-2;–4\right)=\left(1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;-1\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

* Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)$.

Do đó đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(6;–2\right)=\left(3;-1\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là 1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

* Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(4;-6\right)$.

Do đó đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{u_{AC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(4;–6\right)=\left(2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AC}}=\left(3;2\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là 3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 2x + 2y – 9 = 0.

b) Gọi N là trung điểm của AB, áp dụng công thức tọa độ trung điểm, suy ra tọa độ của điểm N là $x_N=\frac{1+\left(-1\right)}{2}=0;y_N=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1$ hay N(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm N(0; 1) và có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right).$

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là 1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

c) * Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\left(3;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

* AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là $x_M=\frac{\left(-1\right)+5}{2}=2;y_M=\frac{\left(-1\right)+\left(-3\right)}{2}=-2$ hay M(2; – 2).

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)$.

Đường trung tuyến AM có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$.

Đường trung tuyến AM đi qua A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là 5(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 5x + y – 8 = 0.

Bài 6 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng Δ ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).

a) Viết phương trình của đường thẳng Δ.

b) Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?

c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 38, ta thấy đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(0; 1,5) và B(7; 5).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(7;3,5\right)$.

Do đó, đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{7}\left(7;3,5\right)=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

b) Giao điểm của đường thẳng ∆ với trục tung là điểm A(0; 1,5).

Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa là: khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1,5 triệu đồng.

c) Người đó tham gia phòng tập thể dục với thời gian là 12 tháng hay chính là x = 12, khi đó, tổng chi phí cần tìm chính là giá trị y tương ứng với x = 12.

Thay x = 12 vào phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta được:

Suy ra với x = 12 (tháng) thì y = $\frac{15}{2}=7,5$ (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí mà người đo phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng là 7,5 triệu đồng.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic