Giải Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Lời giải:
Vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển →AB+→BC là →AC.
1. Tổng của hai vectơ
Lời giải:
Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên là →AB+→BC.
Hoạt động khám phá 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD (Hình 4).
Chứng minh rằng →AB+→AD=→AC.
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.
Ta thấy hai vectơ →AD và →BC cùng hướng và |→AD|=|→BC| nên →AD=→BC.
Khi đó →AB+→AD=→AB+→BC=→AC.
Vậy →AB+→AD=→AC.
Lời giải:
Ta có →a=→AC+→CB=→AB; →b=→DB+→BC=→DC.
Hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD nên AB // CD.
Ta thấy hai vectơ →AB và →DC cùng hướng nên hai vectơ →a và →b cùng hướng.
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABDC.
Do tam giác ABC đều nên ^ABC = 60o.
Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.
Gọi giao điểm của AD và BC là H.
Khi đó AH ⊥ BC.
Tam giác ABH vuông tại H có:
sin^ABH=AHAB
⇒ AH = AB . sin ^ABH = a . sin 60o = a√32
Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên AH = 12AD.
Do đó AD = a√3.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có →AB+→AC=→AD.
Do đó |→AB+→AC|=|→AD|=a√3.
Lời giải:
Gọi vectơ →AB là vectơ vận tốc của máy bay, vectơ →BC là vận tốc gió.
Khi đó vectơ tổng của hai vectơ nói trên là →AB+→BC=→AC.
Khi đó tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = 1502 + 302
⇒ AC2 = 23 400
⇒ AC = 30√26 km/h (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).
Vậy |→AB+→BC|=|→AC|=30√26.
Lời giải:
Dựng hình bình hành AOBC.
Khi đó →F=→OC.
Do AOBC là hình bình hành nên ^AOB+^OBC=180° và OA = BC = 400.
Do đó ^OBC=180°−^AOB=180°−60°=120°.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:
OC2 = OB2 + BC2 - 2.OB.BC.cos ^OBC
⇒ OC2 = 6002 + 4002 - 2.600.400.cos 120o
⇒ OC2 = 760 000
⇒ OC ≈ 872 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)
Vậy |→F| ≈ 872 N.
2. Tính chất của phép cộng các vectơ
Hoạt động khám phá 2 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ →a, →b, →c được biểu diễn như Hình 9.
Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:
a) →a+→b=→AB+→BC=?;
→b+→a=→AE+→EC=?
b) (→a+→b)+→c=(→AB+→BC)+→CD=→AC+→CD=?;
→a+(→b+→c)=→AB+(→BC+→CD)=→AB+→BD=?
Lời giải:
a) Ta có: →a+→b=→AB+→BC=→AC.
→b+→a=→AE+→EC=→AC.
Do đó →a+→b=→b+→a.
b) Ta có: (→a+→b)+→c=(→AB+→BC)+→CD=→AC+→CD=→AD.
→a+(→b+→c)=→AB+(→BC+→CD)=→AB+→BD=→AD.
Do đó (→a+→b)+→c=→a+(→b+→c).
a) →a=(→AC+→BD)+→CB;
b) →a=→AB+→AD+→BC+→DA.
Lời giải:
a) (→AC+→BD)+→CB=→AC+→BD+→CB
=(→AC+→CB)+→BD
=→AB+→BD
=→AD
Do đó |→a|=|→AD| = 1.
b) →AB+→AD+→BC+→DA
=(→AB+→BC)+(→AD+→DA)=→AC+→AA=→AC
Do đó |→a|=|→AC|.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:
AC2 = AD2 + DC2
⇒ AC2 = 12 + 12
⇒ AC2 = 2
⇒ AC = √2 (do AC là độ dài đoạn thẳng)
Vậy |→a|=|→AC|=√2.
3. Hiệu của hai vectơ
Lời giải:
Hợp lực của hai lực đối nhau →F và −→F là →F+(−→F).
a) →a=→OB−→OD;
b) →b=(→OC−→OA)+(→DB−→DC).
Lời giải:
a) Ta có →OB−→OD=→DB.
Do đó |→a|=|→DB|.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có:
BD2 = AB2 + AD2
⇒ BD2 = 12 + 12
⇒ BD2 = 2
⇒ BD = √2 (do BD là độ dài đoạn thẳng nên BD > 0)
Vậy |→a|=|→OB−→OD|=√2.
b) Ta có (→OC−→OA)+(→DB−→DC)=→AC+→CB=→AB.
Do đó |→b|=|(→OC−→OA)+(→DB−→DC)|=|→AB| = 1.
4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng →GB+→GC=→GD và →GA=→DG, hoàn thành phép cộng vectơ sau:
→GA+→GB+→GC=→GA+→GD=→DG+→GD=→DD=?
Lời giải:
a) Ta có →MA+→MB=→MA+→AM=→MM=→0
b) Ta có →GA+→GB+→GC=→GA+→GD=→DG+→GD=→DD=→0
a) →MA+→MD+→MB=→0;
b) →ND+→NB+→NC=→0;
c) →PM+→PN=→0.
Lời giải:
a) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.
Do →MA+→MD+→MB=→0 nên M là trọng tâm của tam giác ADB.
Khi đó trên AO chọn M sao cho →AM=23→AO.
b) Do →ND+→NB+→NC=→0 nên N là trọng tâm của tam giác DBC.
Khi đó trên CO chọn N sao cho →CN=23→CO.
c) Do →PM+→PN=→0 nên P là trung điểm của MN (1).
Ta có AM = 23AO = 23.12AC = 13AC; CN = 23CO = 23.12AC = 13AC.
Do đó MN = 13AC.
MO = 13AO = 13.12 AC = 16AC.
Khi đó MO = 12MN.
Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).
Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.
Bài tập
a) →BA+→DC=→0;
b) →MA+→MC=→MB+→MD
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.
Ta thấy hai vectơ →BA và →DC ngược hướng và |→BA|=|→DC| nên →DC=−→BA.
Do đó →BA+→DC=→BA−→BA=→0.
b) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Do O là trung điểm của AC nên →OA+→OC=→0.
Do O là trung điểm của BD nên →OB+→OD=→0.
Ta có →MA+→MC=→MO+→OA+→MO+→OC=2→MO+→OA+→OC=2→MO.
→MB+→MD=→MO+→OB+→MO+→OD=2→MO+→OB+→OD=2→MO.
Do đó →MA+→MC=→MB+→MD.
Bài 2 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:
a) →AB+→BC+→CD+→DA;
b) →AB−→AD;
c) →CB−→CD.
Lời giải:
a) →AB+→BC+→CD+→DA
=(→AB+→BC)+(→CD+→DA)=→AC+→CA=→AA=→0
b) →AB−→AD=→DB.
c) →CB−→CD=→DB.
Bài 3 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:
a) →BA+→AC;
b) →AB+→AC;
c) →BA−→BC.
Lời giải:
a) Ta có →BA+→AC=→BC.
Do đó |→BA+→AC|=|→BC| = a.
b) Dựng hình bình hành ABDC.
Gọi H là giao điểm của AD và BC.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có →AB+→AC=→AD.
Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.
Do đó AD ⊥ BC tại H.
Do tam giác ABC đều nên ^ABH = 60o.
Xét tam giác ABH vuông tại H:
sin^ABH=AHAB
⇒ AH = AB . sin ^ABH = a . sin 60o = a√32.
Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên H là trung điểm của AD.
Do đó AD = 2AH = 2 . a√32 = a√3.
Vậy |→AB+→AC|=|→AD|=a√3.
c) Ta có →BA−→BC=→CA.
Do đó |→BA−→BC|=|→CA|= a.
a) →OA−→OB=→OD−→OC;
b) →OA−→OB+→DC=→0
Lời giải:
a) Ta có →OA−→OB=→BA; →OD−→OC=→CD.
Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD.
Ta thấy hai vectơ →BA và →CD cùng hướng và |→BA|=|→CD| nên →BA=→CD.
Do đó →OA−→OB=→OD−→OC.
b) Ta có →OA−→OB=→OD−→OC=→CD.
Do đó →OA−→OB+→DC=→CD+→DC=→CC=→0.
Vậy →OA−→OB+→DC=→0.
Lời giải:
Dựng hình bình hành MBAD.
Do ba lực →F1,→F2 và →F3 cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên nên
→F1+→F2+→F3=→0.
Do đó →F3=−(→F1+→F2).
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
→MA+→MB=→MD hay →F1+→F2=→MD.
Do đó →F3=−→MD .
Hình bình hành MBAD có ^AMB = 90o và MA = MB nên MBAD là hình vuông.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MAD vuông tại A có:
MD2 = MA2 + AD2
⇒ MD2 = 102 + 102
⇒ MD2 = 2.102
⇒ MD = 10√2 N (do MD là độ dài đoạn thẳng nên MD > 0).
⇒|→F3|=|−→MD|=10√2 N.
Vậy cường độ của lực →F3 là 10√2 N.
Lời giải:
Đặt tên các điểm đầu và điểm cuối của các vectơ và tên góc như trên hình.
Khi đó ABDC là hình chữ nhật.
Ta có ^BAD = α (cùng phụ với β).
Do đó ^BAD = 30o.
Tam giác ABD vuông tại B nên cos^BAD=BAAD
⇒ BA = AD . cos ^BAD = a . cos 30o = a√32.
sin^BAD=BDAD⇒BD = AD. sin ^BAD = a . sin 30o = a2.
Do ABDC là hình chữ nhật nên BD = AC = a2.
Vậy |→F1|=a√32; |→F2|=a2.
Lời giải:
Do →KA+→KC=→0 nên K là trung điểm của AC.
Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.
Do →GA+→GB+→GC=→0 nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho →BG=23→BK.
Do →HA+→HD+→HC=→0 nên H là trọng tâm của tam giác ADC.
Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho →DH=23→DK.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:
AC2 = AD2 + DC2
⇒ AC2 = a2 + a2
⇒ AC2 = 2a2
⇒ AC = √2a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)
Do K là trung điểm của AC nên AK = 12AC = √2a2.
Do đó |→KA|=√2a2.
Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.
Do đó BD = √2a.
Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = 13DK = 13.12BD = 16BD = √2a6.
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = 13BK = 13.12BD = 16BD = √2a6.
Do đó HK + KG = √2a6+ √2a6 hay HG = √2a3.
Do đó |→GH|=√2a3.
Do ABCD là hình vuông là K là giao điểm hai đường chéo nên AC ⊥ BD tại K.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKG vuông tại K có:
AG2 = AK2 + KG2
⇒ AG2 = (√2a2)2+(√2a6)2
⇒ AG2 = 5a29
⇒ AG = √5a3 (do AG là độ dài đoạn thẳng nên AG > 0)
Do đó |→AG|=√5a3.
Vậy |→KA|=√2a2; |→GH|=√2a3; |→AG|=√5a3.
Lời giải:
Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.
Khi đó vectơ vận tốc của con tàu là vectơ →AB; vectơ vận tốc của dòng nước là vectơ →BC.
Khi đó vectơ tổng của hai vectơ trên là →AB+→BC=→AC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = 302 + 102
⇒ AC2 = 1 000
⇒ AC = 10√10 (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)
Vậy độ dài tổng của hai vectơ trên là 10√10 km/h.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Tích của một số với một vectơ