Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: vectơ KA + vectơ KC = vectơ 0; vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ 0
437
12/06/2023
Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: →KA+→KC=→0; →GA+→GB+→GC=→0; →HA+→HD+→HC=→0. Tính độ dài các vectơ →KA, →GH, →AG.
Trả lời
![Giải Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)](https://vietjack.me/storage/uploads/images/299/17-1658804514.png)
Do →KA+→KC=→0 nên K là trung điểm của AC.
Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.
Do →GA+→GB+→GC=→0 nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho →BG=23→BK.
Do →HA+→HD+→HC=→0 nên H là trọng tâm của tam giác ADC.
Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho →DH=23→DK.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:
AC2 = AD2 + DC2
⇒ AC2 = a2 + a2
⇒ AC2 = 2a2
⇒ AC = √2a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)
Do K là trung điểm của AC nên AK = 12AC = √2a2.
Do đó |→KA|=√2a2.
Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.
Do đó BD = √2a.
Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = 13DK = 13.12BD = 16BD = √2a6.
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = 13BK = 13.12BD = 16BD = √2a6.
Do đó HK + KG = √2a6+ √2a6 hay HG = √2a3.
Do đó |→GH|=√2a3.
Do ABCD là hình vuông là K là giao điểm hai đường chéo nên AC ⊥ BD tại K.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKG vuông tại K có:
AG2 = AK2 + KG2
⇒ AG2 = (√2a2)2+(√2a6)2
⇒ AG2 = 5a29
⇒ AG = √5a3 (do AG là độ dài đoạn thẳng nên AG > 0)
Do đó |→AG|=√5a3.
Vậy |→KA|=√2a2; |→GH|=√2a3; |→AG|=√5a3.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài tập cuối chương 4
Bài 1: Khái niệm vectơ
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 3: Tích của một số với một vectơ
Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 5