Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
1. Góc giữa hai vectơ
Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).
a) Tính ˆIDC.
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.
c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng −→IB và −−→AB.
Lời giải:
a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC ⊥ BC tại I.
Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.
Khi đó ˆIDC = 45o.
b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ −→DI.
Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ −−→DC.
c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ −→IB là vectơ −→DI.
Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ −−→AB là vectơ −−→DC.
Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: (−−→AB,−−→AC),(−−→AB,−−→BC),(−−→AH,−−→BC),(−−→BH,−−→BC),(−−→HB,−−→BC).
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABCD.
Do tam giác ABC đều nên ˆBAC = 60o, do đó (−−→AB,−−→AC) = 60o.
Do ABCD là hình bình hành nên −−→BC=−−→AD.
Do đó (−−→AB,−−→BC)=(−−→AB,−−→AD).
Do ABCD là hình bình hành nên ˆABC+ˆBAD=180°.
Do đó ˆBAD=180°−ˆABC = 180o - 60o = 120o.
Khi đó (−−→AB,−−→AD) = 120o hay (−−→AB,−−→BC) = 120o.
Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.
Do đó AH ⊥ BC nên (−−→AH,−−→BC) = 90o.
Hai vectơ −−→BH và −−→BC cùng hướng nên (−−→BH,−−→BC) = 0o.
Hai vectơ −−→HB và −−→BC ngược hướng nên (−−→HB,−−→BC) = 180o.
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực →F kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực →F, biết rằng góc giữa vectơ →F và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực →F, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ →F và độ dịch chuyển →d).
Lời giải:
Công sinh bởi lực →F bằng:
∣∣∣→F∣∣∣.∣∣∣→d∣∣∣.cos(→F,→d) = 10 . 100 . cos 45o ≈ 707 J.
Vậy công sinh bởi lực →F khoảng 707 J.
Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng √2. Tính các tích vô hướng: −−→AB.−−→AC,−−→AC.−−→BC,−−→BA.−−→BC.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.
Do đó −−→AB⊥−−→AC⇒−−→AB.−−→AC=→0.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:
AB2 + AC2 = BC2
⇒2AB2 = 2
⇒ AB2 = 1
⇒ AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)
Tam giác vuông cân tại A nên ˆABC=ˆACB = 45o.
Ta có −−→AC.−−→BC=−−−→CA.(−−−→CB)=−−→CA.−−→CB.
−−→CA.−−→CB=∣∣∣−−→CA∣∣∣.∣∣∣−−→CB∣∣∣.cos(−−→CA.−−→CB) = 1 . √2 . cos ˆACB = 1 . √2 . cos 45o = 1.
Do đó −−→AC.−−→BC = 1.
−−→BA.−−→BC=∣∣∣−−→BA∣∣∣.∣∣∣−−→BC∣∣∣.cos(−−→BA,−−→BC) = 1 . √2 . cos ˆABC = 1 . √2 . cos 45o = 1.
Do đó −−→BA.−−→BC = 1.
Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai vectơ →a và →b có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là 12√2. Tính góc giữa hai vectơ →a và →b.
Lời giải:
Ta có →a.→b=∣∣→a∣∣.∣∣∣→b∣∣∣.cos(→a,→b)=12√2
⇒ 3 . 8 . cos(→a,→b)=12√2
⇒cos(→a,→b)=√22
⇒(→a,→b) = 45o.
Vậy góc giữa hai vectơ →a và →b bằng 45°.
Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực →F có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với →F. Tính công sinh bởi lực →F.
Lời giải:
Do vật dịch chuyển cùng hướng với →F nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và →F bằng 0o.
Khi đó công sinh bởi lực →F bằng:
20 . 50 . cos 0o = 1 000 J.
Vậy công sinh bởi lực →F bằng 1 000 J.
3. Tính chất của tích vô hướng
Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ →i,→j vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.
a) Tính: (→i+→j)2;(→i−→j)2;(→i+→j).(→i−→j).
b) Cho →a=2→i+2→j,→b=3→i−3→j. Tính tích vô hướng →a.→b và tính góc (→a,→b).
Lời giải:
Do hai vectơ →i,→j vuông góc nên →i.→j=∣∣∣→i∣∣∣.∣∣∣→j∣∣∣cos90°=0.
a) Ta có (→i+→j)2=→i2+2→i.→j+→j2=∣∣∣→i∣∣∣2+2∣∣∣→i∣∣∣.∣∣∣→j∣∣∣.cos90°+∣∣∣→j∣∣∣2 = 12 + 2 . 0 + 12 = 2.
(→i−→j)2=→i2−2→i.→j+→j2=∣∣∣→i∣∣∣2−2∣∣∣→i∣∣∣.∣∣∣→j∣∣∣.cos90°+∣∣∣→j∣∣∣2 = 12 - 2 . 0 + 12 = 2.
(→i+→j).(→i−→j)=→i2−→j2 = ∣∣∣→i∣∣∣2−∣∣∣→j∣∣∣2= 12 - 12 = 0.
b) →a=2→i+2→j=2(→i+→j); →b=3→i−3→j=3(→i−→j).
Do đó →a.→b=2(→i+→j).3(→i−→j)=6(→i+→j)(→i−→j) = 6 . 0 = 0.
Khi đó cos (→a,→b) = →a.→b∣∣→a∣∣.∣∣∣→b∣∣∣= 0 (do ∣∣→a∣∣ > 0 và ∣∣∣→b∣∣∣ > 0).
⇒(→a,→b) = 90o.
Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết ˆOSO gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ →μ1 và →μ2 có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng →μ=→μ1+→μ2 được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của →μ.
Lời giải:
Do →μ=→μ1+→μ2 nên ∣∣→μ∣∣=∣∣→μ1+→μ2∣∣.
Ta có ∣∣→μ1+→μ2∣∣2=(→μ1+→μ2)2=→μ12+2→μ1.→μ2+→μ22
=1,62+2∣∣→μ1∣∣.∣∣→μ2∣∣.cos(→μ1,→μ2)+1,62
= 1,62 + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120o + 1,62
= 2,56
Do đó ∣∣→μ∣∣=∣∣→μ1+→μ2∣∣=√2,56 = 1,6.
Vậy độ dài của →μ bằng 1,6 đơn vị.
Bài tập
Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: −−→AB.−−→AD, −−→AB.−−→AC, −−→AC.−−→CB,−−→AC.−−→BD.
Lời giải:
AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên
AC = √a2+a2=√2a.
Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = √2a.
Vì AB ⊥ AD nên −−→AB⊥−−→AD ⇒ −−→AB.−−→AD = 0.
Tam giác ABC vuông cân tại B nên ˆBAC=ˆBCA = 45o.
−−→AB.−−→AC=∣∣∣−−→AB∣∣∣.∣∣∣−−→AC∣∣∣.cos(−−→AB,−−→AC) = a . √2a. cos ˆBAC = √2a2 . cos 45o = a2.
Do đó −−→AB.−−→AC = a2.
−−→AC.−−→CB=−−−→CA.−−→CB=−∣∣∣−−→CA∣∣∣.∣∣∣−−→CB∣∣∣.cos(−−→CA,−−→CB)
= -√2a . a . cos ˆBCA = −√2a2 . cos 45o = -a2.
Do đó −−→AC.−−→CB = -a2.
Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Do đó −−→AC⊥−−→BD nên −−→AC.−−→BD=0.
Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a) −−→AB.−−→AO
b) −−→AB.−−→AD
Lời giải:
a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.
Do đó AC = √(2a)2+a2=√5a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).
Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.
Do đó AO = 12AC = √5a2.
Tam giác ABC vuông tại B nên cosˆBAC=ABAC=2a√5a=2√5.
−−→AB.−−→AO=∣∣∣−−→AB∣∣∣.∣∣∣−−→AO∣∣∣.cos(−−→AB,−−→AO) = 2a . √5a2 . cos ˆBAO = = 2a . √5a2 . 2√5 = 2a2.
Vậy −−→AB.−−→AO=2a2.
b) Do AB ⊥ AD nên −−→AB⊥−−→AD do đó −−→AB.−−→AD=0.
Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng −−→OA.−−→OB trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a)
Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ −−→OA và −−→OB cùng hướng.
Do đó (−−→OA,−−→OB) = 0o.
Khi đó −−→OA.−−→OB=∣∣∣−−→OA∣∣∣.∣∣∣−−→OB∣∣∣.cos(−−→OA,−−→OB) = a . b . cos 0o = a.b.
b)
Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ −−→OA và −−→OB ngược hướng.
Do đó (−−→OA,−−→OB) = 180o.
Khi đó −−→OA.−−→OB=∣∣∣−−→OA∣∣∣.∣∣∣−−→OB∣∣∣.cos(−−→OA,−−→OB) = a . b . cos 180o = -a.b.
Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: −−→MA.−−→MB=MO2−OA2.
Lời giải:
Do O là trung điểm của AB nên −−−→OA=−−→OB.
Khi đó −−→MA.−−→MB=(−−→MO+−−→OA).(−−→MO+−−→OB)=(−−→MO+−−→OA).(−−→MO−−−→OA)
=−−→MO2−−−→OA2 = MO2 - OA2.
Vậy −−→MA.−−→MB = MO2 - OA2.
Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực →F có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực →F hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực →F.
Lời giải:
Công sinh bởi lực →F bằng: →F.→d=∣∣∣→F∣∣∣.∣∣∣→d∣∣∣.cos(→F,→d)= 90 . 100 . cos 60o = 4 500 J.
Vậy công sinh bởi lực →F bằng 4 500 J.
Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải:
Gọi hai vectơ đó lần lượt là →a và →b.
Khi đó ta có →a.→b=∣∣→a∣∣.∣∣∣→b∣∣∣.cos(→a,→b) = -6.
⇒ 3 . 4 . cos(→a,→b) = -6
⇒cos(→a,→b)=−12
⇒(→a,→b) = 120o.
Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120o.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 3: Tích của một số với một vectơ
Bài tập cuối chương 5
Bài 1: Số gần đúng và sai số
Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ