Giải SGK Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 16: Giới hạn của hàm số

Giải Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Mở đầu trang 111 Toán 11 Tập 1: Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,

trong đó m₀ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ công thức khối lượng $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v ⟶ c, ta có $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\to 0$. Do đó $\underset{v\to c^{-}}{\lim }m\left(v\right)=+\infty$, nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng.

1. Giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm

HĐ1 trang 111 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{x-2}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số $x_n=\frac{2n+1}{n}$. Rút gọn f(x_n) và tính giới hạn của dãy (u_n) với u_n = f(x_n).

c) Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2, tính f(x_n) và tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$.

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

$f\left(x_n\right)=\frac{4-{\left(\frac{2n+1}{n}\right)}^2}{\frac{2n+1}{n}-2}$$=\frac{4-{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)-2}=\frac{4-\left(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}$$\frac{-\frac{1}{n}\left(4+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=-4-\frac{1}{n}$ .

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-4-\frac{1}{n}\right)=-4$.

c) Ta có: $f\left(x_n\right)=\frac{4-x_n^2}{x_n-2}=\frac{\left(2-x_n\right)\left(2+x_n\right)}{-\left(2-x_n\right)}=-2-x_n$.

Vì x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2 với mọi n nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2-x_n\right)=-2-2=-4$.

Luyện tập 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Lại có: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1$.

Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\sqrt{x}+1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\sqrt{x}+\underset{x\to 1}{\lim }1=\sqrt{1}+1=2$.

HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số .

a) Cho $x_n=\frac{n}{n+1}$ và ${x^{\text{'}}}_n=\frac{n+1}{n}$. Tính y_n = f(x_n) và y'_n = f(x'_n).

b) Tìm giới hạn của các dãy số (y_n) và (y'_n).

c) Cho các dãy số (x_n) và (x'_n) bất kì sao cho x_n < 1 < x'_n và x_n ⟶ 1, x'_n ⟶ 1, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $x_n=\frac{n}{n+1}<1$ với mọi n $\Rightarrow x_n-1<0$ với mọi n.

Do đó, 

Ta cũng có: ${x^{\text{'}}}_n=\frac{n+1}{n}>1$ với mọi n ⇒ x'_n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, 

b) Ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-1\right)=-1$; $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y^{\text{'}}}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }1=1$.

c) Ta có: 

Vì x_n < 1 < x'_n, suy ra x_n – 1 < 0 và x'_n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, f(x_n) = – 1 và f(x'_n) = 1.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$= – 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$= 1.

Luyện tập 2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số 

Tính $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n < 0 và x_n ⟶ 0, ta có f(x_n) = – x_n.

Do đó $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-x_n\right)=0$.

Tương tự, với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n > 0 và x_n ⟶ 0, ta có f(x_n) = $\sqrt{x_n}$.

Do đó $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{x_n}=0$.

Khi đó, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = 0. Vậy $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ = 0.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số $f\left(x\right)=1+\frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞. Tính f(x_n) và tìm .

Lời giải:

Với (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞.

Ta có: $f\left(x_n\right)=1+\frac{2}{x_n-1}$.

Khi x_n ⟶ +∞ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x_n-1}=0$.

Do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x_n-1}\right)=1$.

Luyện tập 3 trang 115 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2}}{x+1}$.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2}}{x+1}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}}{x+1}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}$

$=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{\sqrt{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x^2}}}{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}}$$=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$.

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$

Do đó, $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{1^2}$$\Rightarrow h=$$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+1}}$ .

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có: $\underset{a\to +\infty }{\lim }h=\underset{a\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{a^2}{a^2+1}}$$=\underset{a\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{a^2}{a^2\left(1+\frac{1}{a^2}\right)}}$$=\underset{a\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{a^2}}}=1$.

Do đó, điểm H dịch chuyển về điểm B.

3. Giới hạn vô cực của một hàm số tại một điểm

HĐ4 trang 115 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ có đồ thị như Hình 5.6.

Cho $x_n=\frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng f(x_n) ⟶ +∞.

Lời giải:

Ta có: $x_n=\frac{1}{n}$, do đó $f\left(x_n\right)=\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}=n^2$.

Vì n ⟶ +∞ nên $x_n=\frac{1}{n}\to 0$ và f(x_n) ⟶ +∞.

HĐ5 trang 116 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$. Với các dãy số (x_n) và (x'_n) cho bởi $x_n=1+\frac{1}{n}$, ${x^{\text{'}}}_n=1-\frac{1}{n}$, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)-1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left({x^{\text{'}}}_n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{x^{\text{'}}}_n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n}\right)-1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{-\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-n\right)=-\infty$.

Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) ;

b) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2-x}}$.

Lời giải:

a) Xét hàm số . Lấy dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 0, x_n ⟶ 0.

Do đó, 

b) Đặt $g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}$. Với mọi dãy số (x_n) trong khoảng (– ∞; 2) mà $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$, ta có

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{2-x_n}}=+\infty$.

Do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty$.

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}$.

Lời giải:

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 > 0 với mọi x > 2 và

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=+\infty$.

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 < 0 với mọi x < 2 và

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=-\infty$.

Bài tập

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

+) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=x+1$, với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

+) Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$;

$\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$ nên khẳng định b) là đúng.

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$;

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có: 

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x+4\right)=0+4=4$.

b) Ta có: $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\frac{{\left(\sqrt{x^2+9}\right)}^2-3^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}$$=\frac{x^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}$.

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac{1}{6}$.

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$ và $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$.

Lời giải:

Với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n < 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 0.

Do đó $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }0=0$.

Tương tự, với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n > 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 1.

Do đó $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }1=1$.

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=0$, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=1-2=-1<0$.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}=-\infty$.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(4-x\right)=0$, 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=4^2-4+1=13>0$.

Do đó, $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}=+\infty$.

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có: 

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=3-2=1$.

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$;

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{-2}{\sqrt{1}}=-2$.

b) Ta có: $\sqrt{x^2+x+2}-x=\frac{{\left(\sqrt{x^2+x+2}\right)}^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$$=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}+x}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1\right)}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$.

Tính $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x-1}\cdot \frac{1}{x-2}$

+) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty$ (do x – 2 > 0 khi x > 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=+\infty$.

+) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty$ (do x – 2 < 0 khi x < 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=-\infty$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính