Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm. Cho hàm số f(x) = (4 - x^2) / ( x - 2)

HĐ1 trang 111 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{x-2}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số $x_n=\frac{2n+1}{n}$. Rút gọn f(x_n) và tính giới hạn của dãy (u_n) với u_n = f(x_n).

c) Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2, tính f(x_n) và tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$.

Trả lời

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

$f\left(x_n\right)=\frac{4-{\left(\frac{2n+1}{n}\right)}^2}{\frac{2n+1}{n}-2}$$=\frac{4-{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)-2}=\frac{4-\left(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}$$\frac{-\frac{1}{n}\left(4+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=-4-\frac{1}{n}$ .

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-4-\frac{1}{n}\right)=-4$.

c) Ta có: $f\left(x_n\right)=\frac{4-x_n^2}{x_n-2}=\frac{\left(2-x_n\right)\left(2+x_n\right)}{-\left(2-x_n\right)}=-2-x_n$.

Vì x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2 với mọi n nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2-x_n\right)=-2-2=-4$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính