Giải Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục
Lời giải:
Áp dụng định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
1. Hàm số liên tục tại một điểm
HĐ1 trang 119 Toán 11 Tập 1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm số
Tìm giới hạn và so sánh giá trị này với f(1).
Lời giải:
Ta có: f(1) = 2.
.
Vậy = f(1).
Luyện tập 1 trang 120 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0.
Lời giải:
Hàm số f(x) xác định trên ℝ, do đó x0 = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: ; .
Do đó, , suy ra .
Lại có f(0) = 0 nên . Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
HĐ2 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Lời giải:
+) Hàm số
Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: ; .
Suy ra , do đó
Mà nên .
Vậy hàm số f(x) liên tục tại .
+) Hàm số
Hàm số g(x) liên tục trên [0; 1], do đó thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: ;
Suy ra .
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại , do đó hàm số g(x) gián đoạn tại .
+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.
Luyện tập 2 trang 121 Toán 11 Tập 1: Tìm các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Lời giải:
Biểu thức có nghĩa khi x + 2 ≠ 0 hay x ≠ – 2.
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).
3. Một số tính chất cơ bản
HĐ3 trang 121 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.
b) Tính và so sánh L với f(1) + g(1).
Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.
Do đó, hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.
b) Ta có: f(x) + g(x) = x2 + (– x + 1) = x2 – x + 1.
Do đó, .
Lại có, f(1) = 12 = 1; g(1) = – 1 + 1 = 0, do đó f(1) + g(1) = 1 + 0 = 1.
Vậy L = f(1) + g(1) = 1.
Bài tập
Lời giải:
Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.
Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.
Suy ra
Vì và f(1) = 2 nên ta có 3 = 2 . 2 – g(1) ⇔ g(1) = 1.
Vậy g(1) = 1.
Bài 5.15 trang 122 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) ;
b)
Lời giải:
a)
Biểu thức có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
b)
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x2.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).
+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (1; +∞).
+) Ta có: ;
.
Suy ra , do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.
Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.
Bài 5.16 trang 122 Toán 11 Tập 1 :Tìm giá trị của tham số m để hàm sốliên tục trên ℝ.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).
+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).
Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).
Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi (1).
Lại có: ; f(0) = sin 0 = 0; .
Khi đó, (1) ⇔ m = 0.
Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5.17 trang 122 Toán 11 Tập 1: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Giá mở cửa (0,5 km đầu) |
Giá cước các km tiếp theo đến 30 km |
Giá cước từ km thứ 31 |
10 000 đồng |
13 500 đồng |
11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Lời giải:
a) Gọi x (km, x > 0) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển x.
Với x ≤ 0,5, ta có y = 10 000.
Với 0,5 < x ≤ 30, ta có: y = 10 000 + 13 500(x – 0,5) hay y = 13 500x + 3 250.
Với x > 30, ta có: y = 10 000 + 13 500 . 29,5 + 11 000(x – 30) hay y = 11 000x + 78 250.
Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là
b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).
+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).
+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).
+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.
- Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;
;
= 13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.
Do đó, nên hàm số liên tục tại x = 0,5.
- Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;
= 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;
= 11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.
Do đó, nên hàm số liên tục tại x = 30.
Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: