Giải SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 3: Cấp số nhân

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 30 trang 54 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. 128; – 64; 32; – 16; 8.

B. $\sqrt{2};2;2\sqrt{2};4;8$ .

C. 5; 6; 7; 8; 9.

D. 15; 5; 1; $\frac{1}{5};\frac{1}{25}$ . 

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+ Đáp án A: $\frac{-64}{128}=\frac{32}{-64}=\frac{-16}{32}=\frac{8}{-16}=\frac{-1}{2}$ , do đó dãy số 128; – 64; 32; – 16; 8 lập thành  một cấp số nhân có công bội $\frac{-1}{2}$ .

+ Đáp án B: $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne 2=\frac{8}{4}$ , do đó dãy số $\sqrt{2};2;2\sqrt{2};4;8$  không phải cấp số nhân.

+ Đáp án C: $\frac{6}{5}\ne \frac{7}{6}$ , do đó dãy số 5; 6; 7; 8; 9 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án D: $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\ne \frac{1}{5}$ , do đó dãy số 15; 5; 1; $\frac{1}{5};\frac{1}{25}$  không phải cấp số nhân.

Bài 31 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u_n = 5ⁿ.

B. u_n = 1 + 5n.

C. u_n = 5ⁿ + 1.

D. u_n = 5 + n².

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân.

Thật vậy, ta thấy u_n ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Ta có: u₁ = 5¹ = 5; $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=\frac{5^n}{\frac{5^n}{5}}=5$  không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 5.

Bài 32 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = – 2. Giá trị u₅ là:

A. – 32.

B. – 16.

C. – 6.

D. 32.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = u₁ . q⁴ = 2 . (– 2)⁴ = 32. 

Bài 33 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Viết bốn số hạng xen giữa các số 1 và – 243 để được một cấp số nhân có 6 số hạng. Bốn số hạng đó lần lượt là:

A. – 3; – 9; – 27; – 81.

B. 3; – 9; 27; – 81.

C. 3; 9; 27; 81.

D. – 3; 9; – 27; 81.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1, công bội q, bốn số hạng xen giữa 1 và – 243 lần lượt là u₂, u₃, u₄, u₅; và số hạng thứ 6 là u₆ = – 243.

Ta có u₆ = u₁ . q⁵ = q⁵ = – 243 = (– 3)⁵, suy ra q = – 3.

Do đó, bốn số hạng cần tìm lần lượt là: u₂ = u₁ . q = 1 . (– 3) = – 3;

u₃ = u₂ . q = (– 3) . (– 3) = 9;

u₄ = u₃ . q = 9 . (– 3) = – 27;

u₅ = u₄ . q = (– 27) . (– 3) = 81.

Bài 34 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết u₂ . u₆ = 64. Giá trị của u₃ . u₅ là

A. – 8.

B. – 64.

C. 64.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₂ . u₆ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁵) = $u_1^2.q^6$.

Và $u_3.u_5=\left(u_1.q^2\right).\left(u_1.q^4\right)=u_1^2.q^6$.

Do đó, u₃ . u₅ = u₂ . u₆ = 64.

Bài 35 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số nhân có $u_1=\frac{1}{3}$ ; u₈ = 729.

Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

A. $\frac{1-3^8}{2}$ .

B. $\frac{3^8-1}{6}$ .

C. $\frac{3^8-1}{2}$ .

D. $\frac{1-3^8}{6}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₈ = u₁ . q⁷ = $\frac{q^7}{3}$ . Mà u₈ = 729 nên $\frac{q^7}{3}=729\Rightarrow q^7=2187$ .

Vì 2 187 = 3⁷, suy ra q = 3.

Vậy tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

$S_8=\frac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}.\left(1-3^8\right)}{1-3}=\frac{3^8-1}{6}$.

Bài 36 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 1. Gọi C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁; C₃ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₂; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C₁; C₂; C₃; ...; C_n; ... Diện tích của hình vuông C₂₀₂₃ là:

A. $\frac{1}{2^{2022}}$ .

B. $\frac{1}{2^{2023}}$ .

C. $\frac{1}{2^{1011}}$ .

D. $\frac{1}{2^{1012}}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C₁ có diện tích S₁ = 1.

Hình vuông C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁, do đó hình vuông C₂ có diện tích S₂ = $\frac{1}{2}{S}_1=\frac{1}{2}$ .

Tương tự, hình vuông C₃ có diện tích $S_3=\frac{1}{2}{S}_2=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$ .

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C₂₀₂₃ là $S_{2023}=\frac{1}{2^{2022}}$ .

Bài 37 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Do ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\iff \frac{b-a-2b}{b\left(b-a\right)}=\frac{2b-\left(b-c\right)}{b\left(b-c\right)}$

$\iff \frac{-a-b}{b-a}=\frac{b+c}{b-c}$ (do b ≠ 0)

$\Rightarrow \left(-a-b\right)\left(b-c\right)=\left(b-a\right)\left(b+c\right)$

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

$\iff \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$.

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.  

Bài 38 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x để ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi

$\frac{x}{2x-3}=\frac{2x+3}{x}$

⇒ x² = (2x – 3)(2x + 3)

⇔ x² = 4x² – 9

⇔ 3x² = 9

⇔ x² = 3

$\iff x=\pm \sqrt{3}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{3}$  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Bài 39 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có u₂ + u₄ = $\frac{u_3}{q}+u_{3}q=\frac{16}{q}+16q$ .

Mà u₂ + u₄ = 40 nên ⇒ 16 + 16q² = 40q

⇔ 2q² – 5q + 2 = 0  .

Lại có u₃ = u₁ q² = 16, suy ra u₁ = $\frac{16}{q^2}$ .

Với  thì $u_1=\frac{16}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=64$ .

Với q = 2 thì $u_1=\frac{16}{2^2}=4$ .

Vậy u₁ = 64, q = $\frac{1}{2}$  hoặc u₁ = 4, q = 2.

b) Ta có u₁ + u₆ = u₁ + u₁ . q⁵ = 244, suy ra u₁ . q⁵ = 244 – u₁.

Lại có u₂ . u₅ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁴) = u₁ . (u₁ . q⁵) = u₁ . (244 – u₁) = 244u₁ – u₁².

Suy ra 244u₁ – u₁² = 243  .

Với u₁ = 1 thì q⁵ = 244 – 1 = 243 = 3⁵, suy ra q = 3.

Với u₁ = 243 thì 243q⁵ = 244 – 243 ⇔ 243q⁵ = 1 $\iff q^5=\frac{1}{243}\iff q^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^5$ $\iff q=\frac{1}{3}$ .

Vậy u₁ = 1, q = 3 hoặc u₁ = 243, $q=\frac{1}{3}$ .

c) Ta có 

Lấy (2) chia vế theo vế cho 1, ta được q³ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u₁ (1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁ = 13 ⇔ u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1, q = 3.  

Bài 40 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁ + u₅ = 51 và u₂ + u₆ = 102.

a) Tính u₁₀.

b) Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c) Số 9 216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Lời giải:

a) Xét số hạng đầu u₁ và công bội q. Ta có:

Lấy (2) chia vế theo vế (1) ta được q = 2.

Suy ra u₁ . (1 + 2⁴) = 51 ⇔ 17u₁ = 51 ⇔ u₁ = 3. 

Do đó, u₁₀ = u₁ . q⁹ = 3 . 2⁹ = 1 536.

b) Giả sử số 192 là số hạng thứ k của cấp số nhân (u_n).

Ta có u_k = u₁ . q^{k – 1} = 3  . 2^{k – 1} = 3 . 2^k . $\frac{1}{2}$  = 192, suy ra 2^k = 128 = 2⁷, suy ra k = 7. 

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

c) Giả sử 9 216 là số hạng thứ n của cấp số nhân (u_n).

Ta có 3 . 2^{n – 1} = 9 216 ⇔ 2^{n – 1} = 3 072.

Do 3 072 chia hết cho 3 mà với n là số nguyên dương thì 2^{n – 1} không chia hết cho 3 nên không tồn tại n thoả mãn.

Vậy số 9 216 không là số hạng nào của (u_n).

Bài 41 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 2, số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Tìm các số hạng của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân đó là (u_n) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u₄ = 2 và u₇ = 32u₂.

Ta có u₇ = u₁ . q⁶ và u₂ = u₁ . q, do đó u₁ . q⁶ = 32u₁ . q, suy ra q = 2.

Lại có u₄ = u₁ . q³ = u₁ . 2³ = 8u₁, suy ra 8u₁ = 2 ⇔ u₁ = $\frac{1}{4}$ .

Do vậy, u₂ = $\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}$ ; u₃ = $\frac{1}{2}.2=1$; u₅ = 2 . 2 = 4; u₆ = 4 . 2 = 8; u₇ = 8 . 2 = 16.

Vậy cấp số nhân cần tìm là: $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4;8;16$ .

Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Bài 43 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b) Giả sử tổng m số hạng đầu của (u_n) bằng – 364. Tìm m. 

c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right).\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=-29524$ .

b) Ta có: $S_m=\frac{u_1\left(1-q^m\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right)\left(1-3^m\right)}{1-3}=\frac{1-3^m}{2}$ .

Mà S_m = – 364, do đó $\frac{1-3^m}{2}=-364$  ⇔ 1 – 3^m = – 728

⇔ 3^m = 729 ⇔ 3^m = 3⁶ ⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

c) Dãy $\frac{1}{u_1};\frac{1}{u_2};\frac{1}{u_3};\frac{1}{u_4};\frac{1}{u_5}$  là cấp số nhân với số hạng đầu là ${u^{\text{'}}}_1=\frac{1}{u_1}=\frac{1}{-1}=-1$  và công bội là $q^{\text{'}}=\frac{1}{q}=\frac{1}{3}$ .

Suy ra $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$  .

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, $u_n=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1$  với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt $v_n=u_n-\frac{3}{2}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có $v_1=u_1-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$

$v_n=u_n-\frac{3}{2}$$=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}{u}_{n-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}{v}_{n-1}$ với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu $v_1=-\frac{1}{2}$  và công bội $q=\frac{1}{3}$ .

b) Ta có: $v_n=v_1.q^{n-1}=-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

Từ $v_n=u_n-\frac{3}{2}$ , suy ra $u_n=v_n+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{{3.3}^{n-1}-1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{3^n-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

c) Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

_{$=\left(v_1+\frac{3}{2}\right)+\left(v_2+\frac{3}{2}\right)+\left(v_3+\frac{3}{2}\right)+\mathrm{...}+\left(v_{10}+\frac{3}{2}\right)$}

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + $\frac{3}{2}.10$

Bài 45 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).

Lời giải:

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10% = 120(1 + 0, 1) = 120 . 1,1 (triệu đồng).

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10% = 120 . 1,1 (1 + 0,1) = 120 . 1,1² (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1⁹ (triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.

Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số