Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2
Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết un = 5n – n. Số hạng un + 1 là:
A. 5n + 1 – n – 1.
B. 5n + 1 – n + 1.
C. 5n – n + 1.
D. 5n – n – 1.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: un + 1 = 5n + 1 – (n + 1) = 5n + 1 – n – 1.
Bài 48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = 2, với n ≥ 2. Số hạng u4 bằng:
A. u4 = 1.
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có ;
;
.
Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
A. .
B. .
C. un = 2n.
D. un = (– 2)n.
Lời giải:
Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng.
Thật vậy, ta có un + 1 = 2n + 1 = 2 . 2n.
Khi đó, un + 1 – un = 2 . 2n – 2n = 2n > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng.
Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:
A. 1 320.
B. 660.
C. 630.
D. 1 260.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 3.
Khi đó, tổng của 20 số này là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số (un) với .
Ta có:
không đổi với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
A. 3(1 – 210).
B. 3(29 – 1).
C. 3(210 – 1).
D. 3(1 – 29).
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Giả sử q là công bội của cấp số nhân (un) (điều kiện q ≠ 0).
Ta có: u2 = u1q = 6; u4 = u1q3 = 24, suy ra .
Do đó, q = ± 2.
Mà cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.
Từ u2 = u1q = 6, suy ra u1 = = 3.
Vậy tổng 10 số hạng đầu của (un) là
Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01
= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)
= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)
= 12 + (10 + 102 + 103 + ... + 1011)
.
Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng un + 6 = un với mọi n ≥ 1.
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Lời giải:
a) Ta có ;
Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; ; ; 0; ; .
b) Ta có
với mọi n ≥ 1.
c) Vì un + 6 = un với mọi n ≥ 1 nên
u1 + u2 + u3 + ... + u27 = 4 . (u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6) + u1 + u2 + u3
= .
Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là với n ∈ ℕ*.
a) Tính u1, u2 và u3.
b) Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
c) Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.
Lời giải:
a) Ta có: .
Vì nên u2 = S2 – u1 = – 11 – (– 3) = – 8.
Vì nên u3 = S3 – S2 = – 24 – (– 11) = – 13.
b) Ta có: un = Sn – Sn – 1 =
.
Vậy un = 2 – 5n.
c) Ta có: , với mọi n ≥ 2.
Vậy dãy số (un) là một cấp số cộng.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt vn = un + 1 – un với n ∈ ℕ*. Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của vn, un tính theo n.
Lời giải:
a) Ta có u1 = 1, u2 = 2, u3 = u2 + 1 = 2u2 – u2 – 1 + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,
u4 = u3 + 1 = 2u3 – u3 – 1 + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,
u5 = u4 + 1 = 2u4 – u4 – 1 + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.
Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.
b) Từ công thức un + 1 = 2un – un – 1 + 2 suy ra un + 1 – un = un – un – 1 + 2.
Mà vn = un + 1 – un và vn – 1 = un – 1 + 1 – un – 1 = un – un – 1.
Do đó, vn = vn – 1 + 2 với n ≥ 2.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu v1 = u2 – u1 = 1 và công sai d = 2.
c) Từ kết quả câu b, ta có: vn = v1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.
Lại có: v1 = u2 – u1
v2 = u3 – u2
...
vn – 2 = un – 1 – un – 2
vn – 1 = un – un – 1
Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:
v1 + v2 + ... + vn – 2 + vn – 1 = – u1 + un
⇔ (n – 1)2 = un – 1
⇔ un = 1 + (n – 1)2.
Vậy un = 1 + (n – 1)2 và vn = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ*.
Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), biết u1 = – 2, với n ∈ ℕ*. Đặt với n ∈ ℕ*.
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
b) Tìm công thức của un tính theo n.
Lời giải:
a) Ta có ;
với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu v1 = – 2 và công bội .
b) Từ kết quả của câu a) suy ra .
Từ , suy ra với mọi n ≥ 2.
a) Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.
b) Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
a) Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:
1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).
Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:
1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,752 = 675 (triệu đồng).
b) Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:
1 200 . 0,755 ≈ 285 (triệu đồng).
a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.
b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.
Lời giải:
a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:
.
b) Gọi Sn là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.
Ta có: Sn = 1 – .
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: