Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử limx→x0f(x)=L và limx→x0g(x)=M (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Với limx→x0f(x)=L và limx→x0f(x)g(x)=LM (L, M ∈ ℝ) thì (nếu M ≠ 0).
Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì limx→x0+f(x)=L .
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn → x0, ta có f(xn) → L thì limx→x0+f(x)=L .
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → L, ta có f(xn) → x0 thì limx→x0+f(x)=L .
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L thì limx→x0+f(x)=L .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b), nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì limx→x0+f(x)=L .
Bài 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì
A. limx→+∞cxk=0 .
B. limx→+∞cxk=+∞ .
C. limx→+∞cxk=−∞ .
D. limx→+∞cxk=+∞ hoặc limx→+∞cxk=−∞ .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có limx→+∞cxk=0 .
Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu limx→x0f(x)=L thì limx→x0√f(x)=√L .
B. Nếu limx→x0f(x)=L thì L ≥ 0.
c. Nếu f(x) ≥ 0 và limx→x0f(x)=L thì L ≥ 0 và limx→x0√f(x)=√L .
D. Nếu limx→x0f(x)=L thì L ≥ 0 và limx→x0√f(x)=√L .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và limx→x0f(x)=L thì L ≥ 0 và limx→x0√f(x)=√L .
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì limx→+∞f(x)=L .
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì limx→+∞f(x)=L .
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì limx→+∞f(x)=L .
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì limx→+∞f(x)=L .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì limx→+∞f(x)=L .
Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
a) limx→−2x3=−8 .
b) limx→−2x2−4x+2=−4 .
Lời giải:
a) Xét hàm số f(x) = x3. Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn limxn = – 2.
Ta có limf(xn) = limx3n=(−2)3=−8 .
Vậy limx→−2x3=−8 .
b) Xét hàm số g(x)=x2−4x+2 .
Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ – 2 và lim xn = – 2.
Ta có limg(xn)=limx2n−4xn+2=lim(xn−2)(xn+2)xn+2=lim(xn−2)=−4 .
Vậy limx→−2x2−4x+2=−4 .
Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limx→3f(x)=4, chứng minh rằng:
a) limx→33f(x)=12 ;
b) limx→3f(x)4=1 ;
c) limx→3√f(x)=2 .
Lời giải:
a) limx→33f(x)=limx→33.limx→3f(x)=3.4=12.
b) limx→3f(x)4=limx→3f(x)limx→34=44=1 .
c) limx→3√f(x)=√limx→3f(x)=√4=2 .
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
limx→+∞f(x)=1;
limx→−∞f(x)=1;
limx→(−2)+f(x)=−∞;
limx→(−2)−f(x)=+∞.
Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) limx→−1(−4x2+3x+1) ; b) limx→−1−4x+1x2−x+3 ;
c) limx→2√3x2+5x+4 ; d) limx→−∞−3+4x2x2+3 ;
e) limx→2+−3x−2 ; g) limx→−2+5x+2 .
Lời giải:
a) limx→−1(−4x2+3x+1) =limx→−1(−4x2)+limx→−1(3x)+limx→−11 = – 4 – 3 + 1 = – 6.
b) limx→−1−4x+1x2−x+3 =limx→−1(−4x+1)limx→−1(x2−x+3)=limx→−1(−4x)+limx→−11limx→−1x2−limx→−1x+limx→−13=4+11−(−1)+3=55=1 .
c) Vì limx→2(3x2+5x+4) =limx→2(3x2)+limx→2(5x)+limx→24= 3.22+5.2+4=26 .
Do đó, limx→2√3x2+5x+4 =√26.
d) Vì limx→−∞(−3+4x)=limx→−∞(−3)+limx→−∞4x=−3+0=−3
và .
Do đó, limx→−∞−3+4x2x2+3=0 .
e) Vì limx→2+(−3)=−3<0 ; limx→2+(x−2)=0 và x – 2 > 0 với mọi x > 2.
Do đó, limx→2+−3x−2=−∞ .
g) Vì limx→−2+5=5>0 ; limx→−2+(x+2)=0 và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.
Do đó, limx→−2+5x+2=+∞ .
Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) limx→−∞−5x+23x+1 ; b) limx→−∞−2x+33x2+2x+5 ;
c) limx→+∞√9x2+3x+1 ; d) limx→−∞√9x2+3x+1 ;
e) limx→12x2−8x+6x2−1 ; g) limx→−3−x2+2x+15x2+4x+3 .
Lời giải:
a) limx→−∞−5x+23x+1=limx→−∞−5+2x3+1x=−53 .
b) limx→−∞−2x+33x2+2x+5 =limx→−∞−2x+3x23+2x+5x2=03=0 .
c)
d)
=limx→−∞(−x).√9+3x2x(1+1x)=limx→−∞−√9+3x21+1x=−√91=−3.
e) limx→12x2−8x+6x2−1 =limx→1(2x−6)(x−1)(x+1)(x−1)=limx→12x−6x+1=−2.
g) limx→−3−x2+2x+15x2+4x+3 =limx→−3(5−x)(x+3)(x+1)(x+3)=limx→−35−xx+1=−4.
Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limx→1f(x)−4x−1=2 . Tính:
a) limx→1f(x) ;
b) limx→13f(x) .
Lời giải:
Điều này mâu thuẫn với giả thiết limx→1f(x)−4x−1=2.
b) Ta có limx→13f(x) =limx→13.limx→1f(x)=3.4=12 .
Lời giải:
Ta có limx→+∞xf(x)x+1 =limx→+∞f(x)1+1x=limx→+∞f(x)limx→+∞(1+1x)
=limx→+∞f(x)limx→+∞1+limx→+∞1x=20221+0=2022.
Vậy limx→+∞xf(x)x+1=2022 .
limx→af(x)−32f(x)+1=12.
Lời giải:
Ta có limx→af(x)−32f(x)+1=limx→a1−3f(x)2+1f(x)=limx→a(1−3f(x))limx→a(2+1f(x))
=limx→a1−limx→a3f(x)limx→a2+limx→a1f(x)=limx→a1−limx→a3limx→af(x)limx→a2+limx→a1limx→af(x) =1−02+0=12 .
Vậy limx→af(x)−32f(x)+1=12 .
Lời giải:
Ta có g(10) = 45 . 102 – 103.
Khi đó limt→10g(t)−g(10)t−10 =limt→1045t2−t3−45.102−103t−10
=limt→10(45t2−45.102)−(t3−103)t−10
=limt→1045(t−10)(t+10)−(t−10)(t2+10t+100)t−10
=limt→10(t−10)(45(t+10)−(t2+10t+100))t−10
=limt→10(−t2+35t+350)=600.
Vậy limt→10g(t)−g(10)t−10 = 600.
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: