Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ
Trong toán học, giá trị của biểu thức (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?
Lời giải:
Giá trị của biểu thức là tích vô hướng của hai vectơ và .
Luyện tập 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có , AB = 3 cm. Tính .
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại A nên .
cm.
cm.
Ta có: (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
.
Khi đó
=
= = 6 . cos 60° = 3.
Luyện tập 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Do tam giác ABC đều nên và AB = BC = CA = a.
Khi đó
= -a.a.cos 60o = .
Vậy
b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên .
Do đó nên .
Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì , ta có:
;
;
.
Lời giải:
Ta có:
+) Ta có:
+) Ta có:
Lời giải:
Phần thuận: Tam giác ABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos 90o
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.0
BC2 = AB2 + AC2
Phần đảo: Tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos
Mà BC2 = AB2 + AC2 nên -2.AB.AC.cos = 0.
Do AB và AC là độ dài các cạnh của tam giác nên cos = 0.
Do đó .
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Bài tập
A. MN = 4;
B. MN = 2;
C. MN = 16;
D. MN = 256.
Lời giải:
Ta có .
Do đó -MN2 = -4 nên MN2 = 4.
Mà MN > 0 (độ dài đoạn thẳng) nên MN = 2.
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu khác và thì
B. Nếu khác và thì
C. Nếu khác và thì
D. Nếu khác và thì
Lời giải:
Nếu khác và thì .
Do đó .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Tính trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b) ;
c) và cùng hướng;
d) và ngược hướng.
Lời giải:
a)
= 3 . 4 . cos 30o = .
b)
= 5 . 6 . cos 120o = -15.
c) Do và cùng hướng nên = 2 . 3 = 6.
d) Do và ngược hướng nên = -2 . 3 = -6.
Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Do ABCD là hình vuông nên .
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
AC = a.
Khi đó:
= a . a . cos = a . a . cos 45o = a2.
b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Do đó nên .
Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
.
Lời giải:
= 0.
Vậy .
Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH BC.
Do đó nên .
Ta có
Vậy .
b) Ta có
Vậy .
Lời giải:
Gọi vận tốc của máy bay theo hướng từ đông sang tây là , vận tốc gió thổi từ hướng đông bắc sang tây nam là , khi đó vận tốc mới của máy bay là .
Ta có = 700, = 40.
Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 700 và .
Do đó .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác BCD:
BD2 = BC2 + CD2 - 2.BC.CD.cos .
BD2 = 402 + 7002 - 2.40.700.cos 135o.
BD2 ≈ 531 197,98.
BD ≈ 728,83 km.
Vậy vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió thổi khoảng 728,83 km/h.
a) Tính .
b) Biểu diễn theo .
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Lời giải:
a) Ta có
= 2 . 3 . cos 60o = 3.
Vậy = 3.
b) Do M là trung điểm của BC nên .
Ta có .
c) Ta có
= 0.
Do đó AM ⊥ BD.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ