Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc BAC = 60độ. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn vectơ AD = 7/12 (vectơ AC)

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{BAC}=60°$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Trả lời

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= 2 . 3 . cos 60^o = 3.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 3.

b) Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}-\overrightarrow{AB}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}{.3}^2-\frac{1}{2}.3$

= 0.

Do đó AM ⊥ BD.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây