Giải Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
Tại sao chiếc thuyền lại di chuyển như vậy?
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Lời giải:
Chiếc thuyền di chuyển theo hướng hợp lực của hai người.
a) Biểu diễn vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.
b) Xác định vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật.
Lời giải:
a) Vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B là: .
Vectơ dịch chuyển của vật từ B đến C là: .
b) Vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là: .
Hoạt động 2 trang 83 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý.
a) Vẽ (Hình 50).
b) Tổng của hai vectơ và bằng vectơ nào?
Lời giải:
a) Thực hiện vẽ như Hình 50.
b) Tổng của hai vectơ và bằng vectơ .
Lời giải:
Do P là trung điểm của AB nên .
Do đó hay .
Do M là trung điểm của BC nên .
Do đó hay .
Do N là trung điểm của AC nên .
Do đó hay .
Mà hay .
Do đó .
Hoạt động 3 trang 84 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:
a) Hai vectơ và .
b) Vectơ tổng và vectơ .
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.
Do đó .
b) Do nên hay .
Luyện tập 2 trang 84 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.
Lời giải:
Gọi hướng kéo của 2 người ở 2 bên bờ sông lần lượt là và .
Theo quy tắc hình bình hành ta có: .
Do đó thuyền sẽ di chuyển theo hướng .
Luyện tập 3 trang 85 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh .
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên .
Khi đó
Vậy .
a) và biểu diễn trọng lực của hai vật;
b) và .
(Bỏ qua trọng lượng của các dây và các lực ma sát)
Lời giải:
a) Ta thấy hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài.
b) Ta thấy hai vectơ và ngược hướng và cùng độ dài.
Hoạt động 5 trang 86 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ . Lấy một điểm M tùy ý.
a) Vẽ (Hình 56).
b) Tổng của hai vectơ và bằng vectơ nào?
Lời giải:
a) Thực hiện vẽ như Hình 56.
b) Tổng của hai vectơ và bằng vectơ với N là một điểm sao cho AMCN là hình bình hành.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AC; N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // BC và MN = = .
Do N là trung điểm của BC nên .
Do đó .
Khi đó .
Vậy .
Bài tập
Bài 1 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Vectơ bằng vectơ nào sau đây?
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Lời giải:
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Bài 2 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm D, E, G. Vectơ bằng vectơ nào sau đây?
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Lời giải:
.
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Bài 3 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta có nên
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b)
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
a) ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên .
Do đó hay .
Vậy khẳng định a đúng.
b) Ta có .
Mà nên khẳng định b sai.
c) Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC, OB = OD.
Mà A và C nằm ở hai phía so với điểm O, B và D nằm ở hai phía so với điểm O nên ; .
Do đó .
Vậy khẳng định c sai.
Lời giải:
Để hai vectơ và đối nhau thì OA = OB và ngược hướng nhau.
Do A và B là hai điểm nằm trên đường tròn nên OA = OB = R.
Do đó cần thêm điều kiện hai vectơ ngược hướng nhau.
Để hai vectơ ngược hướng nhau thì O nằm giữa A và B.
Mà OA = OB nên O là trung điểm của AB.
Lại có O là tâm của đường tròn nên AB là đường kính của đường tròn (O).
Vậy AB là đường kính của đường tròn (O) thì hai vectơ và đối nhau.
Lời giải:
Ta có ; .
Do ABCD là hình bình hành nên .
Vậy .
Bài 7 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:
a) ;
b) ;
c) với O là giao điểm của AC và BD.
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABD vuông tại A, có:
BD2 = AB2 + AD2 (định lí Pythagoras)
⇔ BD2 = a2 + a2 = 2a2
⇔ BD = a
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có .
Do đó .
Vậy .
b) Ta có .
Do đó .
Vậy .
c) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Do O là trung điểm của BD nên .
Do đó .
Vậy .
Lời giải:
Do ba lực cùng tác động lên vật và vật đứng yên nên .
.
Dựng hình bình hành AOBD.
Gọi E là giao điểm hai đường chéo AB và OD.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: hay .
.
Do = 120 N nên OA = OB.
Hình bình hành AOBD có OA = OB nên AOBD là hình thoi.
Do đó tại E.
Do AOBD là hình thoi nên OD là tia phân giác của .
Do đó .
Trong tam giác AOE vuông tại E ta có:
OE = OA . cos = 120 . cos 60o = 60 N.
Do E là giao điểm hai đường chéo của hình thoi AOBD nên E là trung điểm của OD.
Do đó OD = 120 N.
Vậy vectơ ngược hướng với vectơ và = 120 N.
Lời giải:
Cano chuyển động từ phía đông sang phía tây nên giả sử cano di chuyển từ A sang C, vectơ biểu thị vận tốc so với mặt nước của cano là vectơ .
Khi đó .
Dòng nước chảy từ phía bắc xuống phía nam nên vectơ biểu thị vận tốc của dòng nước là vectơ .
Khi đó .
Khi đó vận tốc của cano so với bờ sông được biểu thị bằng vectơ .
Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ trên.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
.
Do hướng đông tây vuông góc với hướng bắc nam nên AC vuông góc với AB.
Do đó ACDB là hình chữ nhật.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại B:
AD2 = AB2 + BD2
AD2 = 102 + 402
AD2 = 1 700
AD = km/h
Vậy vận tốc của cano so với bờ sông bằng km/h.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
Bài 5: Tích của một số với một vectơ