Giải Toán 10: Bài tập cuối chương 4 trang 99, 100
a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;
c) Diện tích của tam giác;
d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;
e) với M là trung điểm của BC.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos
BC2 = 32 + 42 - 2.3.4. cos 120o
BC2 = 37
BC ≈ 6
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
≈ 35o
b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
2R =
R ≈ 3.
c) Nửa chu vi của tam giác ABC là: = 6,5.
Diện tích của tam giác ABC là:
≈ 5. (đvdt)
Vậy diện tích tam giác ABC là 5 (đvdt).
d) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến BC.
Khi đó diện tích tam giác ABC là: SABC = AH.BC = AH.6 = 3AH.
Mà theo ý c) ta có diện tích tam giác ABC là 5
3AH = 5
AH = ≈ 2.
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là 2.
e) Ta có
= 3 . 4 . cos 120o = -6.
Do M là trung điểm của BC nên .
Khi đó
Vậy
A = (sin 20° + sin 70°)2 + (cos 20° + cos 110°)2,
B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.
Lời giải:
a) A = (sin 20° + sin 70°)2 + (cos 20° + cos 110°)2
A = [sin(90o - 70o) + sin 70o]2 + [cos(90o - 70o) + cos(180o - 70o)]
A = (cos 70o + sin 70o)2 + (sin 70o - cos 70o)2
A = cos2 70o + 2.cos 70o.sin 70o + sin2 70o + sin2 70o - 2.cos 70o.sin 70o + cos2 70o
A = 2(cos2 70o + sin2 70o)
A = 2.1
A = 2
Vậy A = 2.
b) B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°
= tan(90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan(180° – 70°) + cot(180° – 70°)
= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)
= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)
= 0
Vậy B = 0.
Bài 3 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Bạn Hoài vẽ góc xOy và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau (Hình 70):
- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm;
- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.
Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cos, từ đó suy ra độ lớn góc xOy.
Em hãy cho biết số đo góc xOy mà bạn Đông tính được bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác OAB có:
AB2 = OA2 + OB2 - 2.OA.OB.cos
≈ 102o.
Vậy bạn Đông tính được bằng 102o.
- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;
- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.
Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC.
Trong tam giác ABC có .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
Do đó ≈ 1 076 m;
≈ 878 m.
Vậy khoảng cách từ trạm C đến trạm A và trạm B lần lượt khoảng 878 m và 1 076 m.
Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 72). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải:
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB.
Khi đó độ rộng của khúc sông là CH.
Ta có là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nên .
Do đó .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
≈ 57,4 m.
Tam giác CBH vuông tại B nên:
CH = CB . sin = 57,4 . sin 65o
CH ≈ 52 m
Vậy độ rộng của khúc sông khoảng 52 m.
Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác OMN.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác OMN có:
MN2 = OM2 + ON2 - 2.OM.ON.cos
MN2 = 2002 + 5002 - 2.200.500.cos 135o
MN2 ≈ 431 421 m
MN ≈ 657 m.
Vậy khoảng cách giữa hai điểm M và N khoảng 657 m.
Bài 7 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh:
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì với E là điểm bất kì;
b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với M, N là hai điểm bất kì;
c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với M, N là hai điểm bất kì.
Lời giải:
a)
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có .
Do đó .
Vậy .
b)
Do I là trung điểm của AB nên .
Do đó .
Vậy .
c)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên .
Do đó .
Vậy .
Bài 8 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, (Hình 74).
a) Biểu thị các vectơ theo .
b) Tính các tích vô hướng .
c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.
Lời giải:
a) Ta có .
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có .
b) Ta có
= 4 . 6 . cos = 24 . cos 60o = 12.
= 42 + 12 = 28.
= 62 - 42 = 20.
c) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD có:
BD2 = AB2 + AD2 - 2.AB.AD.cos
BD2 = 42 + 62 - 2.4.6.cos 60o
BD2 = 28
BD =
Do ABCD là hình bình hành nên .
Do đó .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ADC có:
CD2 = AD2 + DC2 - 2.AD.DC.cos
CD2 = 62 + 42 - 2.6.4.cos 120o
CD2 = 76
CD =
Vậy BD = ; CD = .
Lời giải:
Do AOBC là hình bình hành nên .
Do đó .
Ta có .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:
OC2 = OB2 + BC2 - 2.OB.OC.cos
.
Vậy công thức tính cường độ của hợp lực là
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 5: Tích của một số với một vectơ