Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 9: Tích của một vecto với một số

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 9. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Mở đầu

Mở đầu trang 55 Toán 10 Tập 1: Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, tại mỗi đỉnh Ai có đặt một vật nặng mi (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với các khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg).

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.

Giải Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số  - Kết nối tri thức (ảnh 1)

1. Tích của một vecto với một số

Giải Toán 10 trang 55 Tập 1

HĐ 1 trang 55 Toán 10 Tập 1: Cho vecto AB=a. Hãy xác định điểm C sao cho BC=a.

a) Tìm mối quan hệ giữa AB và a+a.

b) Vecto a+a có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto a.

Lời giải

+) AB=a nên AB cùng hướng và cùng độ lớn với a;

+) BC=a nên BC cùng hướng và cùng độ lớn với a.

Do đó AB và BC cùng hướng và cùng độ lớn với a

Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC

Hay B là trung điểm của AC.

Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

Cho vecto AB = vecto a. Hãy xác định điểm C sao cho vecto BC = vecto a   (ảnh 1)

a) Ta có: a+a=AB+BC=AC (quy tắc ba điểm)

Suy ra a+a=AC=AC 

Mà AC = AB + BC = 2AB nên a+a=2AB.

Lại có AC cùng hướng với AB 

Vậy a+a cùng hướng với vecto AB và a+a=2AB=2AB.

b) Vì AB=a nên AB cùng hướng vecto a và AB=a hay AB=a

Mà a+a cùng hướng với vecto AB và a+a=2AB.

Do đó a+a cùng hướng với vecto a và a+a=2a.

Câu hỏi trang 55 Toán 10 Tập 1: 1a và a có bằng nhau hay không?

Lời giải

Tích của vectơ a0 với số thực k = 1 > 0 là một vectơ kí hiệu là 1a, vectơ này cùng hướng với vectơ a và có độ dài bằng 1.a=a.

Do đó 1a=a.

Vậy 1a=a.

Giải Toán 10 trang 56 Tập 1

HĐ 2 trang 56 Toán 10 Tập 1Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số 0;1;2;2.Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto OM,ONvới vecto a=OA. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto OMvà OA.

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số (ảnh 1)

Lời giải

Trên trục số Hình 4.22 ta thấy:

- Về hướng:

Điểm M và điểm A nằm cùng phía đối với điểm O trên trục số nên OM cùng hướng với OA;

Điểm N và điểm A nằm khác phía đối với điểm O trên trục số nên ON ngược hướng với OA.

- Về độ dài:

+ Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1 do đó OA=OA=1 

+ Điểm M biểu diễn cho số 2 nên OM=2 do đó OM=OM=2

Suy ra OM=2OA=2a

+ Điểm N biểu diễn cho số 2 nên ON = 2=2 do đó ON=ON=2 

Suy ra ON=2OA=2a

Vậy OM cùng hướng với a=OA và OM=2a

ON ngược hướng với a=OA và ON=2a

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto OM và OA là OM=2OA.

Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1: a và (1) a có mối quan hệ gì?

Lời giải

+ Vectơ a là vectơ đối của vectơ a nên a ngược hướng với a và có độ dài a. 

+ Vectơ 1a là tích của vectơ a với số thực k = ‒1 < 0 nên 1a ngược hướng với a và có độ dài 1a=1.a=a.

Do đó vectơ 1a cùng hướng với a và cùng có độ dài bằng độ dài của a.

Vậy 1a=a.

Luyện tập 1 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để AM=tAB.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: AM=AMAB.AB.

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để AM=tAB.

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25) (ảnh 1)

Lời giải

a)

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25) (ảnh 1)

+ Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên AM cùng phương AB

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn AM=tAB.

+ Nếu tồn tại số t thỏa mãn AM=tAB thì AM cùng phương AB 

Hay đường thẳng AM song song hoặc trùng với đường thẳng AB.

Mà cả hai đường thẳng này đều đi qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì AM không cùng phương với AB.

Do đó ta không thể viết dưới dạng AM=AMABAB.

Vậy khẳng định b) sai.

c)

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25) (ảnh 1)

Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ AM và AB là hai vectơ cùng phương, ngược hướng

Khi đó tồn tại số thực ≤ 0 thoả mãn AM=tAB. 

Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để AM=tAB thì hoặc hai vectơ AB và AM ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).

Do đó khẳng định c) đúng.

2. Các tính chất của phép nhân vecto với 1 số 

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1

HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với u0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ ktu và ktu có cùng độ dài bằng ktu.

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ ktu,ktu cùng hướng với u.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ktu,ktu ngược hướng với u.

d) Hai vectơ ktu và ktu bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: ktu=ktu=ktu=ktu và ktu=ktu

Suy ra ktu=ktu=ktu

Do đó hai vectơ ktu và ktu có cùng độ dài bằng ktu.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ ktu cùng hướng với vectơ u

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Với kt ≥ 0 k0t0 hoặc k0t0 

+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ tu cùng hướng với vectơ u;

Với k ≥ 0 thì vectơ k(tu)cùng hướng với vectơ tu;

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì ktu cùng hướng với vectơ u(do cùng hướng với tu).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ tu ngược hướng với vectơ u;

Với k ≤ 0 thì vectơ k(tungược hướng với vectơ tu;

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì ktu cùng hướng với vectơ u(do cùng ngược hướng với tu).

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì ktu cùng hướng với vectơ u.

Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto ktu,ktu cùng hướng với u.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ ktu ngược hướng với vectơ u

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

- Với kt < 0 k>0t<0 hoặc k<0t>0 

+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ tu ngược hướng với vectơ u;

Với k > 0 thì vectơ ktucùng hướng với vectơ tu;

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Do đó với k > 0 t < 0 thì ktu ngược hướng với vectơ u

+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ tu cùng hướng với vectơ u;

Với k < 0 thì vectơ ktu ngược hướng với vectơ tu;

Với vecto u khác vecto 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Do đó với k < 0 và t > 0 thì ktu ngược hướng với vectơ u.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì ktu ngược hướng với vectơ u.

Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ktu,ktu ngược hướng với u.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ ktu và ktu có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ ktu,ktu cùng hướng với u.

Suy ra hai vectơ ktu,ktu cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ktu,ktu ngược hướng với u.

Suy ra hai vectơ ktu,ktu cùng hướng.

Do đó hai vectơ ktu,ktu cùng hướng với mọi k, t.

ktu=ktu

Hay hai vectơ ktu và ktu bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.

HĐ 4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ 3u+v và 3u+3v. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa 3u+v và 3u+3v.

Lời giải

Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ  3( vecto u + vecto v) và 3 vecto u + 3 vecto v. Từ đó, nêu mối quan hệ (ảnh 1)

Giả sử OE=u,OF=v được biểu diễn như hình vẽ trên.

+ Xét hình bình hành OEMF, ta có:

u+v=OE+OF=OM (quy tắc hình bình hành)

3u+v=3OM

Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM và OC cùng hướng với OM.

Do đó 3u+v=3OM=OC     (1)

+ Trên hình vẽ ta thấy OA=3u và OA cùng hướng với u 

OB=3v và OB cùng hướng với v 

Do đó OA=3u,OB=3v 

Xét hình bình hành OACB, ta có:

3u+3v=OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành)   (2)

Từ (1) và (2)3u+v=3u+3v=OC

Vậy 3u+v=3u+3v.

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

OA+OB+OC=3OG

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA+GB+GC=0 (Tính chất trọng tâm của tam giác)

Với điểm O bất kì ta có: 

OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=OG+OG+OG+GA+GB+GC

=3OG+0

=3OG.

Vậy OA+OB+OC=3OG.

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ u,v theo hai vectơ a,b, tức là tìm các số x, y, z, t để u=xa+yb,v=ta+zb.

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ  u, v theo hai vectơ a, b (ảnh 1)

Lời giải

Giả sử các điểm O, A, B, C, M, N, P là các điểm như trong hình vẽ dưới đây.

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ  u, v theo hai vectơ a, b (ảnh 1)

Khi đó ta có:

OA=a;OB=2b;OC=u;OM=3b;ON=2a;OP=v 

Xét hình bình hành OACB, có: OC=OA+OB (quy tắc hình bình hành)

Suy ra u=a+2b.

Xét hình bình hành OMPN, có: OP=OM+ON (quy tắc hình bình hành)

Suy ra v=3b+2a=2a+3b.

Vậy u=a+2b,v=2a+3b.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 58 Tập 1

Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB và AD

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị (ảnh 1)

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

AB+AC=AE (quy tắc hình bình hành)

Mà AE=2AM (M là trung điểm của AE)

AB+AC=2AMAM=AB+AC2

Xét hình bình hành ABCD có: AC=AB+AD (quy tắc hình bình hành)

AM=AB+AB+AD2=AB+AB+AD2

AM=2AB+AD2=2AB2+AD2=AB+12AD

Vậy AM=AB+12AD.

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng BC+AD=2MN=AC+BD.

Lời giải

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB (ảnh 1)

Ta có: 

AC+BD=AD+DC+BC+CD=AD+DC+BC+CD

AC+BD=AD+BC+DC+CD=AD+BC+0=AD+BC

Do đó AC+BD=AD+BC     (1)

Ta có: 

BC+AD=MCMB+MDMA=MCMB+MDMA

BC+AD=MC+MDMA+MB

Lại có M là trung điểm của AB nên MA+MB=0

N là trung điểm của DC, với điểm M bất kì ta có MC+MD=2MN 

Suy ra BC+AD=2MN0

BC+AD=2MN      (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC+AD=2MN=AC+BD.

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho KA+2KB=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OK=13OA+23OB.

Lời giải

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn KA+2KB=0. Khi đó KA=2KB. Suy ra hai vectơ KA và KB cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Giải Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số  - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra MA+MB=0.

Cho hai điểm phân biệt A và B.  a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Cho hai điểm phân biệt A và B.  a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Suy ra vecto MK cùng hướng với vectơ MB và thỏa mãn MK=13MB.

Cho hai điểm phân biệt A và B.  a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn MK=13MB.

b)

Cho hai điểm phân biệt A và B.  a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Cách 1:

Ta có:  

13OA+23OB=13OK+KA+23OK+KB=13OK+13KA+23OK+23KB=13OK+23OK+13KA+23KB=OK+13KA+2KB 

Mà KA+2KB=0 (theo câu a) do đó 13OA+23OB=OK+13.0=OK 

Vậy với mọi điểm O, ta có:  OK=13OA+23OB.

Cách 2:

Ta có: OK=OM+MK

Theo câu a ta có MK=13MB=13MO+OB

Do đó 

OK=OM+MK=OM+13MO+OB=OM+13MO+13OB=OM13OM+13OB=23OM+13OB

Vì M là trung điểm của AB nên

Cho hai điểm phân biệt A và B.  a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để MA+MB+2MC=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OA+OB+2OC=4OM.

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA+GB+GC=0.

Cho tam giác ABC.Hãy xác định điểm M để  (ảnh 1)

Do đó vecto GM cùng hướng  với vecto GC và GM=14GC.

Cho tam giác ABC.Hãy xác định điểm M để  (ảnh 1)

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho GM=14GC.

b) Ta có: 

OA+OB+2OC=OM+MA+OM+MB+2OM+MC

Cho tam giác ABC.Hãy xác định điểm M để  (ảnh 1)

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1

Bài 4.15 trang 59 Toán 10 Tập 1: Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1,F2,F3 như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là F1+F2+F3=0). Tính độ lớn của các lực F2,F3, biết F1, có độ lớn là 20 N.

Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1, F2, F3như Hình 4.30 (ảnh 1)

Lời giải

Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1, F2, F3như Hình 4.30 (ảnh 1)

Giả sử các điểm B, C, D, E thoả mãn AB=F1;AD=F2;AE=F3 và ABCD là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên 

Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1, F2, F3như Hình 4.30 (ảnh 1)

Suy ra hai vectơ AC và F3 là hai vectơ đối nhau

AC=F3 và CAD^=600.

ABCD là hình bình hành nên F1=AB=AB=DC=20N 

Tam giác ACD vuông tại D có:

Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1, F2, F3như Hình 4.30 (ảnh 1)

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

 

 

Câu hỏi liên quan

vecto AM = vecto AB + 1/2(vecto AD)
Xem thêm
vecto u = vecto a + 2(vecto b) vecto v = -2(vecto a) + 3(vecto b)
Xem thêm
1(vecto a) = vecto a
Xem thêm
Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto OM và OA là OM = căn 2 OA
Xem thêm
3(vecto u + vecto v) = 3(vecto u) + 3(vecto v)
Xem thêm
a) đúng b) đúng c) đúng d) đúng
Xem thêm
a) đúng b) sai c) đúng
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Tích của một vecto với một số
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!