Giải Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số
Mở đầu
Mở đầu trang 55 Toán 10 Tập 1: Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, tại mỗi đỉnh Ai có đặt một vật nặng mi (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với các khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg).
Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.
1. Tích của một vecto với một số
Giải Toán 10 trang 55 Tập 1
HĐ 1 trang 55 Toán 10 Tập 1: Cho vecto . Hãy xác định điểm C sao cho
a) Tìm mối quan hệ giữa và
b) Vecto có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto
Lời giải
+) nên cùng hướng và cùng độ lớn với ;
+) nên cùng hướng và cùng độ lớn với .
Do đó và cùng hướng và cùng độ lớn với
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC
Hay B là trung điểm của AC.
Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.
a) Ta có: (quy tắc ba điểm)
Suy ra
Mà AC = AB + BC = 2AB nên .
Lại có cùng hướng với
Vậy cùng hướng với vecto và .
b) Vì nên cùng hướng vecto và hay
Mà cùng hướng với vecto và .
Do đó cùng hướng với vecto và .
Câu hỏi trang 55 Toán 10 Tập 1: và có bằng nhau hay không?
Lời giải
Tích của vectơ với số thực k = 1 > 0 là một vectơ kí hiệu là , vectơ này cùng hướng với vectơ và có độ dài bằng .
Do đó
Vậy
Giải Toán 10 trang 56 Tập 1
Lời giải
Trên trục số Hình 4.22 ta thấy:
- Về hướng:
Điểm M và điểm A nằm cùng phía đối với điểm O trên trục số nên cùng hướng với ;
Điểm N và điểm A nằm khác phía đối với điểm O trên trục số nên ngược hướng với .
- Về độ dài:
+ Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1 do đó
+ Điểm M biểu diễn cho số nên do đó
Suy ra
+ Điểm N biểu diễn cho số nên ON = do đó
Suy ra
Vậy cùng hướng với và
ngược hướng với và
Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto và là
Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1: và có mối quan hệ gì?
Lời giải
+ Vectơ là vectơ đối của vectơ nên ngược hướng với và có độ dài
+ Vectơ là tích của vectơ với số thực k = ‒1 < 0 nên ngược hướng với và có độ dài
Do đó vectơ cùng hướng với và cùng có độ dài bằng độ dài của .
Vậy
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để .
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có:
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để
Lời giải
a)
+ Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên cùng phương
Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn
+ Nếu tồn tại số t thỏa mãn thì cùng phương
Hay đường thẳng AM song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Mà cả hai đường thẳng này đều đi qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB.
Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì không cùng phương với .
Do đó ta không thể viết dưới dạng
Vậy khẳng định b) sai.
c)
Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ và là hai vectơ cùng phương, ngược hướng
Khi đó tồn tại số thực t ≤ 0 thoả mãn
Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để thì hoặc hai vectơ và ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).
Do đó khẳng định c) đúng.
2. Các tính chất của phép nhân vecto với 1 số
Giải Toán 10 trang 57 Tập 1
HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vectơ và có cùng độ dài bằng
b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ cùng hướng với .
c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ngược hướng với .
d) Hai vectơ và bằng nhau.
Lời giải
a) Ta có: và
Suy ra
Do đó hai vectơ và có cùng độ dài bằng
Vậy khẳng định a) đúng.
b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ
- Với kt ≥ 0 hoặc
+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0
Với t ≥ 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ ;
Với k ≥ 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ ;
Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì cùng hướng với vectơ (do cùng hướng với ).
+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0
Với t ≤ 0 thì vectơ ngược hướng với vectơ ;
Với k ≤ 0 thì vectơ k() ngược hướng với vectơ ;
Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì cùng hướng với vectơ (do cùng ngược hướng với
Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì cùng hướng với vectơ .
Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto cùng hướng với .
Vậy khẳng định b) là đúng.
c) – Với kt < 0 thì vectơ ngược hướng với vectơ
- Với kt < 0 hoặc
+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0
Với t < 0 thì vectơ ngược hướng với vectơ ;
Với k > 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ ;
Do đó với k > 0 t < 0 thì ngược hướng với vectơ
+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0
Với t > 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ ;
Với k < 0 thì vectơ ngược hướng với vectơ ;
Do đó với k < 0 và t > 0 thì ngược hướng với vectơ .
Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì ngược hướng với vectơ .
Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ngược hướng với .
Vậy khẳng định c) là đúng.
d) Theo câu a thì hai vectơ và có cùng độ dài.
+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ cùng hướng với .
Suy ra hai vectơ cùng hướng.
+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ngược hướng với .
Suy ra hai vectơ cùng hướng.
Do đó hai vectơ cùng hướng với mọi k, t.
Hay hai vectơ và bằng nhau.
Vậy khẳng định d) đúng.
Lời giải
Giả sử được biểu diễn như hình vẽ trên.
+ Xét hình bình hành OEMF, ta có:
(quy tắc hình bình hành)
Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM và cùng hướng với .
Do đó . (1)
+ Trên hình vẽ ta thấy và cùng hướng với
và cùng hướng với
Do đó
Xét hình bình hành OACB, ta có:
(quy tắc hình bình hành) (2)
Từ (1) và (2)
Vậy
Lời giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: (Tính chất trọng tâm của tam giác)
Với điểm O bất kì ta có:
Vậy
Lời giải
Giả sử các điểm O, A, B, C, M, N, P là các điểm như trong hình vẽ dưới đây.
Khi đó ta có:
Xét hình bình hành OACB, có: (quy tắc hình bình hành)
Suy ra .
Xét hình bình hành OMPN, có: (quy tắc hình bình hành)
Suy ra
Vậy
Bài tập
Giải Toán 10 trang 58 Tập 1
Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị theo hai vecto và
Lời giải
Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.
Khi đó M là trung điểm của BC và AE.
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.
(quy tắc hình bình hành)
Mà (M là trung điểm của AE)
Xét hình bình hành ABCD có: (quy tắc hình bình hành)
Vậy
Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Do đó (1)
Ta có:
Lại có M là trung điểm của AB nên
N là trung điểm của DC, với điểm M bất kì ta có
Suy ra
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định điểm K sao cho
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:
Lời giải
a) Cách 1:
Giả sử có điểm K thỏa mãn . Khi đó . Suy ra hai vectơ và cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.
Cách 2:
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra .
Suy ra vecto cùng hướng với vectơ và thỏa mãn
Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn
b)
Cách 1:
Ta có:
Mà (theo câu a) do đó
Vậy với mọi điểm O, ta có:
Cách 2:
Ta có:
Theo câu a ta có
Do đó
Vì M là trung điểm của AB nên
Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:
Lời giải
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra .
Do đó vecto cùng hướng với vecto và
Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho
b) Ta có:
Giải Toán 10 trang 59 Tập 1
Bài 4.15 trang 59 Toán 10 Tập 1: Chất điểm A chịu tác động của ba lực như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là ). Tính độ lớn của các lực biết có độ lớn là 20 N.
Lời giải
Giả sử các điểm B, C, D, E thoả mãn và ABCD là hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành nên
Suy ra hai vectơ và là hai vectơ đối nhau
và .
ABCD là hình bình hành nên
Tam giác ACD vuông tại D có:
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 9: Tích của một vecto với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto