Giải Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu
Mở đầu:
Lời giải
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta sẽ sử dụng vectơ để biểu diễn các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió.
Trong đó hướng của vectơ là hướng gió, độ dài vecto là độ lớn của vận tốc gió.
1. Khái niệm Vecto
Giải Toán 10 trang 47 Tập 1
Lời giải
Ta có hình vẽ sau:
Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 900 nên do đó tam giác AHB vuông tại H.
Xét vuông tại H, áp dụng định lí Py – ta – go ta có: AB2 = AH2 + BH2
Thay số: AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200
(km)
vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên cân tại H
Do đó nếu đi từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B thì phải đi theo đường thẳng AB chính là hướng đông nam, tạo với hướng đông một góc 45°.
Vậy nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam, tạo với hướng đông một góc 45° và đi quãng đường dài km.
Lời giải
Vì tam giác ABC là tam giác đều với cạnh có độ dài bằng a nên AB = BC = AC = a.
Do đó
Các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:
2. Hai vecto cùng phương, cùng hướng, bằng nhau
Giải Toán 10 trang 48 Tập 1
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.
Lời giải
Trên hình vẽ ta quan sát làn đường và hướng di chuyển (mũi tên) của các xe thấy:
+ Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó nhận xét a) là đúng.
+ Có hai xe chạy hướng từ dưới lên trên, còn ba xe chạy hướng từ trên xuống dưới. Nên các xe không chạy theo cùng một hướng. Do đó nhận xét b) sai.
+ Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng (hai xe cùng chạy hướng từ trên xuống dưới hoặc hướng từ dưới lên trên) hoặc chạy ngược hướng nhau (một xe chạy hướng từ dưới lên trên và một xe chạy hướng từ trên xuống dưới). Do đó nhận xét c) đúng.
Lời giải
Trong Hình 4.7:
+ Hai vectơ và cùng hướng ta quan sát thấy hai vectơ có giá song song với nhau nên hai vectơ cùng phương, lại thấy vectơ và đều có hướng cùng chiều nhau.
+ Hai vectơ và ngược hướng nhau ta quan sát thấy hai vectơ có giá song song với nhau nên hai vectơ cùng phương, lại thấy vectơ và có hướng ngược chiều nhau.
Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ sẽ là những vectơ có giá song song và cùng chiều với vectơ , đó là những vectơ và .
Do đó các vectơ ngược hướng với vectơ sẽ là những vectơ có giá song song và ngược chiều với vectơ , đó là những vectơ và .
Giải Toán 10 trang 49 Tập 1
Lời giải
- Cặp vectơ và :
+ Độ dài: cùng độ dài vì mà AD = BC (tính chất hình thang cân);
+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;
+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.
Do đó hai vectơ và không bằng nhau.
- Cặp vectơ và :
+ Độ dài: không cùng độ dài do mà AB < CD;
+ Phương: cùng phương do hai vectơ có giá song song với nhau;
+ Hướng: ngược hướng.
Do đó hai vectơ và không bằng nhau.
- Cặp vectơ và :
+ Độ dài: cùng độ dài do mà AC = BD (tính chất hình thang cân);
+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;
+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.
Do đó hai vectơ và không bằng nhau.
Vậy không có cặp vectơ nào bằng nhau.
a) và ngược hướng;
b) và cùng phương;
c) và cùng hướng;
d) và ngược hướng.
Lời giải
+ Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì và ngược hướng.
+ Nếu hai vectơ và ngược hướng thì hai vectơ và cùng phương
Do đó ba điểm M, A, B thẳng hàng.
Mà hai vectơ và ngược hướng nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Suy ra điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi và ngược hướng.
Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là và ngược hướng.
Chọn điều kiện d)
Giải Toán 10 trang 50 Tập 1
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế của ca nô A, B.
b) Trong các vectơ , những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?
Lời giải
a) Ta có vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h nên độ lớn của vectơ là 3 km/h.
Do ca nô A chạy xuôi dòng nên vận tốc thực tế của ca nô A bằng 15 + 3 = 18 km/h hay độ lớn của vectơ là 18 km/h.
Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế của ca nô B bằng 15 – 3 = 12 km/h hay độ lớn của vectơ là 12 km/h.
Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài giữa các vectơ là = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.
Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, khi đó ca nô A chạy xuôi dòng từ trái qua phải và ca nô B chạy ngược dòng từ phải qua trái. Ta có sơ đồ như sau:
b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nên các vectơ vận tốc và cùng phương và cùng hướng, do ca nô B chạy ngược dòng nên các vectơ vận tốc và cùng phương và ngược hướng.
Vậy trong các vectơ có:
- Các cặp vectơ cùng phương là: và ; và ; và .
- Các cặp vectơ ngược hướng là: và ; và .
Bài tập
Bài 4.1 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ đều khác . Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) đều cùng hướng với ;
b) Nếu không cùng hướng với thì ngược hướng với ;
c) Nếu và đều cùng phương với thì và cùng phương;
d) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
Lời giải
+ Do vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ nên khẳng định a) là đúng.
+ Do không cùng hướng với nên có thể có hai trường hợp xảy ra đó là: hoặc và ngược hướng hoặc và không cùng phương. Do đó khẳng định b) sai.
+ Nếu và đều cùng phương với thì và có giá song song hoặc trùng với giá của vevtơ . Suy ra và có giá song song hoặc trùng nhau nên và cùng phương. Do đó khẳng định c) đúng.
+ Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng với nhau. Do đó khẳng định d) là đúng.
Lời giải
+ Quan sát hình vẽ, ta thấy các vectơ có giá song song với nhau nên các vectơ cùng phương với nhau là: .
+ Các cặp vectơ ngược hướng: và ; và .
+ Độ dài của vectơ là: ;
Độ dài của vectơ là ;
Độ dài của vectơ là ;
Độ dài của vectơ là .
Do đó các vectơ có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).
Suy ra và cùng hướng và có cùng độ dài nên bằng nhau.
Vậy cặp vectơ bằng nhau là và .
Bài 4.3 trang 50 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi
Lời giải
+ Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành)
và cùng phương
và cùng hướng.
Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)
+ Giả sử tứ giác ABCD có suy ra và cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.
Þ BC = AD (1) và AD, BC song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng, điều này không xảy ra vì ABCD là tứ giác. Vậy AD // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi .
Lời giải
Các vectơ khác , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:
.
Khi đó: S = { }.
Hai vectơ bằng nhau trong tập hợp S là:
Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Nhóm 4:
Nhóm 5:
Nhóm 6:
Nhóm 7:
Nhóm 8:
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.
b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ . Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?
Lời giải
a) Dựng các điểm B(0; 2) và K(0; 5).
Khi đó OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = 3.
Suy ra hai tam giác OAB và MNK là các tam giác vuông đồng dạng.
Do đó .
Suy ra OA // MN và .
Như vậy, hai vectơ và là hai vectơ cùng hướng và vectơ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ .
b) Vì và là hai vectơ cùng hướng nên khi vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi thì vật thể đó sẽ đi qua điểm N.
Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng và .
Vậy nếu coi độ lớn của OA là một đơn vị giờ thì sau khi khởi hành 3 giờ vật sẽ tới N.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 9: Tích của một vecto với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ