Giải Toán 10 Bài 8 : Tổng và hiệu của hai vectơ
Mở đầu
Lời giải
Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17).
Giả sử tàu xuất phát từ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc .
Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước.
Gọi M, N là các điểm sao cho
Khi đó tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là
Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d2.
Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là , do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d2 là .
Mặt khác, không đổi nên nhỏ nhất AC nhỏ nhất
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.
1. Tổng của hai vecto
Giải Toán 10 trang 51 Tập 1
Lời giải
HĐ 2 trang 51 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ và .
Lời giải
Giải Toán 10 trang 52 Tập 1
a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ và vectơ .
b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ và vectơ .
Lời giải
+ Trong Hình 4.14a ta có: và .
+ Trong Hình 4.14b ta có: và .
Lời giải
+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành
Do đó (quy tắc hình bình hành)
ABCD là hình thoi nên AB = BC và AC là tia phân giác (tính chất hình thoi)
Xét ΔABC có AB = BC và
⇒ ΔABC đều
⇒ AC = AB = BC = 1
Suy ra
+ Ta có:
(quy tắc ba điểm).
Vậy độ dài của các vectơ và đều bằng 1.
2. Hiệu của hai vecto
Lời giải
Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.
Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.
Hai vectơ và biểu diễn cho hai vectơ cân bằng thì hai vectơ này có chung gốc, cùng phương, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.
Giải Toán 10 trang 53 Tập 1
Lời giải
Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.
Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.
Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành
(quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)
Và (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).
Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF.
Do đó OE = OF.
Suy ra hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau, do đó
.
Giải Toán 10 trang 54 Tập 1
Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực (có độ lớn có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực (có độ lớn , có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).
Lời giải
Do khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực , phản lực và lực kéo . Để kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực kéo có độ lớn lớn hơn độ lớn của tổng hai lực và , tức là:
Xét hình bình hành OACB có suy ra
Xét ΔOBC vuông tại O, có:
Do đó (N)
Ta có: 11 074 : 100 = 110,74
Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.
Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074 N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.
Bài tập
Bài 4.6 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a)
b)
Lời giải
a) Ta có:
(quy tắc ba điểm).
b) Ta có: (quy tắc hiệu)
(quy tắc hiệu)
Lời giải
Vì ABCD là hình bình hành nên (quy tắc hình bình hành)
Theo đề bài , do đó ta cần tìm điểm M thỏa mãn
⇔ ACMB là hình bình hành
Vậy điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.
Do tứ giác ACMB là hình bình hành
Bài 4.8 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ .
Lời giải
Ta có: (quy tắc hiệu)
Suy ra
Gọi D là điểm thoả mãn điều kiện ABDC là hình hình hành.
(quy tắc hình bình hành)
Gọi M là giao điểm của AD và BC
⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)
AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều ABC.
Do đó tam giác ABM vuông tại M có AB = a, BM = , áp dụng định lí Pythagore ta có: AB2 = AM2 + BM2
⇒ AM2 = AB2 – BM2 =
Mà M là trung điểm của AD nên AD = 2AM
Vậy và .
Lời giải
Vẽ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành trong đó biểu diễn ; biểu diễn và (như hình vẽ trên).
Suy ra (quy tắc hình bình hành)
Do đó
Xét tam giác ABC, áp dụng định lí côsin ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos
+) mà nên AB = 3
+) Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD (tính chất hình bình hành)
Mà AD =
Do đó BC = 2.
+) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC do đó (hai góc trong cùng phía)
Suy ra
+) Ta có AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos
AC2 = 32 + 22 – 2.3.2.cos 60°
AC2 = 7
Vậy độ lớn của hợp lực là (N).
Lời giải
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2
Giả sử tàu 1 xuất phát từ đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.
Giả sử tàu 2 xuất phát từ đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.
Gọi và lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.
+ Gọi B, C là các điểm sao cho
Khi đó tàu 1 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là
Vậy tàu 1 chuyển động theo hướng với đích đến là điểm N trên bờ d2 và đi với độ lớn .
Thời gian để tàu 1 di chuyển sang bờ d2 là t1 = .
+ Gọi B', C' là các điểm sao cho
Khi đó tàu 2 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là
Vậy tàu 2 chuyển động theo hướng với đích đến là điểm N' trên bờ d2 và đi với độ lớn .
Thời gian để tàu 2 di chuyển sang bờ d2 là t2 = .
+ Vì nên B, B', C, C' thẳng hàng và nằm trên đường thẳng song song với hai đường thẳng d1 và d2.
Khi đó theo định lý Thales, ta có: hay t1 = t2.
Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.
Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 9: Tích của một vecto với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto