Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ u = (x1;y1) và vectơ v = (x2;y2). a) Biểu diễn các vectơ u, vectơ v theo hai vectơ i và vectơ j

Hoạt động 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)$.

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$,$k\overrightarrow{u}$ (k ∈ ℝ) theo hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

c) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, $k\overrightarrow{u}$ (k ∈ ℝ).

Trả lời

a) Do $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)$ nên $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j},\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}$.

b) Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$, ta làm như sau:

Do $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j},\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}$, vậy nên:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\right)+\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}\right)=\left(x_1\overrightarrow{i}+x_2\overrightarrow{i}\right)+\left(y_1\overrightarrow{j}+y_2\overrightarrow{j}\right)=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}$

Tương tự, ta có:

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$$=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\right)-\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}\right)$$=\left(x_1\overrightarrow{i}-x_2\overrightarrow{i}\right)+\left(y_1\overrightarrow{j}-y_2\overrightarrow{j}\right)$$=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}$.

$k\overrightarrow{u}=k\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\right)=k{x}_1\overrightarrow{i}+k{y}_1\overrightarrow{j}=\left(k{x}_1\right)\overrightarrow{i}+\left(k{y}_1\right)\overrightarrow{j}$ (k ∈ ℝ).

c) Do $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là (x₁ + x₂; y₁ + y₂).

Do $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$$=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}$ nên tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ là (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

Do $k\overrightarrow{u}=\left(k{x}_1\right)\overrightarrow{i}+\left(k{y}_1\right)\overrightarrow{j}$ nên tọa độ vectơ $k\overrightarrow{u}$ là (kx₁; ky₁) với (k ∈ ℝ).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn