Giải SGK Toán 10 (Cánh diều) Bài 1: Tọa độ của vectơ

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

Câu hỏi khởi động trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay, đang theo dõi một máy bay hạ cánh. Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa bởi một đốm sáng, kí hiệu là M. Dựa trên sự thay đổi của tọa độ vectơ OM , trạm kiểm soát có thể xác định được đường bay của máy bay.

Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay

Tọa độ của vectơ OM là gì?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết tọa độ của vectơ OM chính là tọa độ của điểm M.

I. Tọa độ của một điểm

Hoạt động 1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy:

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M tùy ý.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

Lời giải:

a) Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và ta thấy đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2. Tương tự, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và ta thấy đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.

b) Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

II. Tọa độ của một vectơ

Hoạt động 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ vectơ OM.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải:

a) Ta vẽ vectơ OM như sau:

Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hoạt động 3 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ (Hình 7). Hãy xác định điểm A sao cho OA=u.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u

Lời giải:

Để xác định điểm A, ta làm như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u

- Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ u.

- Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ OA,u cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ u.

Vậy ta xác định được điểm A thỏa mãn yêu cầu.

Luyện tập 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ c,d trong Hình 11.

Tìm tọa độ của các vectơ c, d trong Hình 11

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ c, d trong Hình 11

- Giá của vectơ c song song với trục Ox, trên trục Ox, lấy điểm A sao cho hai vectơ OA,c cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ c và bằng 3 (đơn vị ô vuông).

Ta có: c=OA và A(– 3; 0); tọa độ vectơ OA chính là tọa độ điểm A nên c=3;0 .

- Giá của vectơ d song song với trục Oy, trên trục Oy, lấy điểm B sao cho hai vectơ OB,d cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ d và bằng 2 (đơn vị ô vuông).

Ta có: d=OB và B(0; 2); tọa độ vectơ OB chính là tọa độ điểm B nên d=0;2.

Hoạt động 4 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u=a;b. Ta chọn điểm A sao cho OA=u.

Xét vectơ đơn vị i trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị j trên trục tung Oy (Hình 12).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u(a,b)

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Biểu diễn vectơ OH qua vectơ i.

c) Biểu diễn vectơ OK qua vectơ j.

d) Chứng tỏ rằng u=ai+bj.

Lời giải:

a) Ta có: OA=u, mà (a; b) là tọa độ của vectơ u nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.

b) Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên OH=ai.

c) Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên OK=bj.

d) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: OA=OK+OH.

Mà OH=ai,OK=bj nên OA=ai+bj.

Theo bài ra ta có: OA=u.

Vậy u=ai+bj.

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(– 1; 0) và vectơ v = (0; – 7).

a) Biểu diễn v vectơ qua hai vectơ i và j.

b) Biểu diễn OB vectơ qua hai vectơ i và j.

Lời giải:

a) Vì v = (0; – 7) nênv=0.i+7.j=7j.

b) Vì điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên OB=1;0. Do đó:

OB=1.i+0.j=i.

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Hoạt động 5 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

a) Tìm hoành độ xA và tung độ yA­ của điểm A; hoành độ xB và tung độ yB của điểm B.

b) Tìm điểm M sao cho OM=AB . Từ đó, tìm hoành độ a và tung độ b của vectơ AB .

c) So sánh: xB – xA và a; yB – yA và b.

Lời giải:

a) Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.

Hoành độ của điểm A là xA = 2, tung độ của điểm A là yA = 2.

Hoành độ của điểm B là xB = 4, tung độ của điểm B là yB = 3.

b) Để xác định điểm M, ta làm như sau:

- Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ AB (chính là đường thẳng AB).

- Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ AB,OM cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ AB (chính là độ dài đoạn thẳng AB).

Ta xác định được điểm M thỏa mãn OM=AB như hình vẽ:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2, nên hoành độ của điểm M là xM = 2.

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là yM = 1.

Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ OM nên OM=2;1.

Lại có OM=AB , do đó tọa độ của vectơ AB là (2; 1).

Vậy hoành độ của vectơ AB là a = 2 và tung độ của vectơ AB là b = 1.

c) Ta có: x– xA = 4 – 2 = 2 và a = 2 nên xB – xA = a.

Và yB – yA = 3 – 2 = 1 và b = 1 nên yB – yA = b.

Luyện tập 3 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm: A(1; 3), B(5; – 1), C(2; – 2), D(– 2; 2).

Chứng minh AB=DC.

Lời giải:

Ta có: AB=51;13. Do đó AB=4;4.

Lại có: DC=22;22. Do đó DC=4;4

Vậy AB=DC .

Bài tập

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua hai vectơ ivà j.

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó

Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ a,b,c,d.

Trên các đường thẳng đó, lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA=a,OB=bOC=cOD=d (như hình vẽ trên).

Từ các điểm A, B, C, D, kẻ các đường thẳng vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).

+) Ta có OA=a và tọa độ A là A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ OA chính là tọa độ của điểm A, do đó tọa độ của vectơ a là (– 5; – 3) và a=5.i+3.j=5i3j.

+) Ta có OA=a và tọa độ của B(3; – 4), tọa độ của vectơ OB chính là tọa độ của điểm B, do đó tọa độ của vectơ b là (3; – 4) và b=3.i+4.j=3i4j.

+) Ta có OC=c và tọa độ của C(– 1; 3), tọa độ của vectơ OC chính là tọa độ của điểm C, do đó tọa độ của vectơ c là (– 1; 3) và c=1.i+3.j=i+3j.

+) Ta có OD=d và tọa độ của D(2; 5), tọa độ của vectơ OD chính là tọa độ của điểm D, do đó tọa độ của vectơ d là (2; 5) và d=2.i+5.j=2i+5j.

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) a=3i;

b) b=j;

c) c=i4j;

d) d=0,5i+6j.

Lời giải:

a) Ta có: a=3i=3.i+0.j.

Vậy tọa độ của vectơ a là (3; 0).

b) Ta có: b=j=0.i+1.j.

Vậy tọa độ của vectơ b là (0; – 1).

c) Ta có: c=i4j=1.i+4.j.

Vậy tọa độ của vectơ c là (1; – 4).

d) Ta có: d=0,5i+6j=0,5.i+6.j.

Vậy tọa độ của vectơ d là 0,5;  6.

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) u=2a1;3 và v=3;4b+1 ;

b) x=a+b;2a+3b và y=2a3;4b .

Lời giải:

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau

Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a  a + 2a = 3  3a = 3  a = 1.

Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.

Vậy a = 1 và b = – 2.

Bài 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM=BC .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng BN=NM.

Lời giải:

a) Ta có: BC=31;11. Do đó BC=4;  2.

Gọi tọa độ điểm M(xM; yM), khi đó ta có AM=xM2;yM3.

AM=BCAM=4;2xM2=4yM3=2xM=6yM=1.  

Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).

b) + Gọi tọa độ điểm N(xN; yN).

Ta có: AN=xN2;yN3NC=3xN;1yN.

Do N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên AN=NC (hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau).

xN2=3xNyN3=1yN2xN=52yN=2xN=52yN=1.

Vậy tọa độ của điểm N là 52;  1.

+ Ta có: BN=521;11, do đó BN=72;  0.

Lại có: NM=652;  11, do đó NM=72;0.

Vậy BN=NM.

Bài 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).

a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.

b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.

c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy

Lời giải:

a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó AO=OM.

Gọi tọa độ điểm A(a; b).

Ta có: AO=0a;0b=a;bOM=1;3 (tọa độ vectơ OM chính là tọa độ điểm M).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3)

Vậy tọa độ điểm A là A(1; – 3).

b) Vì điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B giữ nguyên và tung độ của điểm B đối nhau với trung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là B(– 1; – 3).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3)

c) Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C giữ nguyên và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Bài 6 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm C(xC; yC), tọa độ điểm D(xD; yD).

Khi đó ta có: AI=43;21=7;1IC=xC4;yC2.

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1)

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: AB=13;31=2;2DC=11xD;3yD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DCDC=2;2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1)

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).

Bài 7 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Lời giải 

Gọi tọa độ các điểm A(xA;yA), B(xB; yB), C(xC; yC).

Ta có: AP=6xA;2yA,PB=xB6;yB2,BM=1xB;2yB,

MC=xC1;yC2AN=4xA;1yANC=xC4;yc1.

+ M là trung điểm của BC nên BM=MC1xB=xC12yB=yC2xB=2xCyB=4yC(1)

+ N là trung điểm của AC nên AN=NC4xA=xC41yA=yC1xA=8xCyA=2yC(2)

+ P là trung điểm của AB nên AP=PB6xA=xB62yA=yB2xA=12xByA=4yB (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 8xC=12xB2yC=4yBxB=4+xCyB=6+yC (4)

Từ (1) và (4) suy ra: 2xC=4+xC4yC=6+yC2xC=22yC=10xC=1yC=5.

Vậy tọa độ điểm C là (– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: xA=81=9yA=25=3.

Do đó A(9; 3).

Thay tọa độ điểm C vào (1) ta được: xB=21=3yB=45=1.

Do đó B(3; 1).

Vậy A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 

Câu hỏi liên quan

a) Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).
Xem thêm
a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.
Xem thêm
Gọi tọa độ các điểm A(xA;yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Xem thêm
Gọi tọa độ điểm C(xC; yC), tọa độ điểm D(xD; yD).
Xem thêm
a) Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.
Xem thêm
Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).
Xem thêm
Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ
Xem thêm
a) Ta có: 
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Tọa độ của vectơ CD
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!