Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ
Tọa độ của vectơ là gì?
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ biết tọa độ của vectơ chính là tọa độ của điểm M.
I. Tọa độ của một điểm
Hoạt động 1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy:
a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.
b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M tùy ý.
Lời giải:
a) Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và ta thấy đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2. Tương tự, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và ta thấy đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 2.
Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.
b) Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.
Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).
II. Tọa độ của một vectơ
Hoạt động 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) Vẽ vectơ .
b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.
Lời giải:
a) Ta vẽ vectơ như sau:
b) Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.
Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).
Lời giải:
Để xác định điểm A, ta làm như sau:
- Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ .
- Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ .
Vậy ta xác định được điểm A thỏa mãn yêu cầu.
Luyện tập 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 11.
Lời giải:
- Giá của vectơ song song với trục Ox, trên trục Ox, lấy điểm A sao cho hai vectơ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ và bằng 3 (đơn vị ô vuông).
Ta có: và A(– 3; 0); tọa độ vectơ chính là tọa độ điểm A nên .
- Giá của vectơ song song với trục Oy, trên trục Oy, lấy điểm B sao cho hai vectơ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ và bằng 2 (đơn vị ô vuông).
Ta có: và B(0; 2); tọa độ vectơ chính là tọa độ điểm B nên .
Xét vectơ đơn vị trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị trên trục tung Oy (Hình 12).
a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.
b) Biểu diễn vectơ qua vectơ .
c) Biểu diễn vectơ qua vectơ .
d) Chứng tỏ rằng .
Lời giải:
a) Ta có: , mà (a; b) là tọa độ của vectơ nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.
b) Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên .
c) Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên .
d) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: .
Mà , nên .
Theo bài ra ta có: .
Vậy .
a) Biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
b) Biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
Lời giải:
a) Vì = (0; – 7) nên.
b) Vì điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên . Do đó:
.
III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
Hoạt động 5 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13).
a) Tìm hoành độ xA và tung độ yA của điểm A; hoành độ xB và tung độ yB của điểm B.
b) Tìm điểm M sao cho . Từ đó, tìm hoành độ a và tung độ b của vectơ .
c) So sánh: xB – xA và a; yB – yA và b.
Lời giải:
a) Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.
Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.
Hoành độ của điểm A là xA = 2, tung độ của điểm A là yA = 2.
Hoành độ của điểm B là xB = 4, tung độ của điểm B là yB = 3.
b) Để xác định điểm M, ta làm như sau:
- Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ (chính là đường thẳng AB).
- Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ (chính là độ dài đoạn thẳng AB).
Ta xác định được điểm M thỏa mãn như hình vẽ:
Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2, nên hoành độ của điểm M là xM = 2.
Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là yM = 1.
Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ nên .
Lại có , do đó tọa độ của vectơ là (2; 1).
Vậy hoành độ của vectơ là a = 2 và tung độ của vectơ là b = 1.
c) Ta có: xB – xA = 4 – 2 = 2 và a = 2 nên xB – xA = a.
Và yB – yA = 3 – 2 = 1 và b = 1 nên yB – yA = b.
Chứng minh .
Lời giải:
Ta có: . Do đó .
Lại có: . Do đó
Vậy .
Bài tập
Lời giải:
Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ .
Trên các đường thẳng đó, lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho ,, , (như hình vẽ trên).
Từ các điểm A, B, C, D, kẻ các đường thẳng vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).
+) Ta có và tọa độ A là A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ chính là tọa độ của điểm A, do đó tọa độ của vectơ là (– 5; – 3) và .
+) Ta có và tọa độ của B(3; – 4), tọa độ của vectơ chính là tọa độ của điểm B, do đó tọa độ của vectơ là (3; – 4) và .
+) Ta có và tọa độ của C(– 1; 3), tọa độ của vectơ chính là tọa độ của điểm C, do đó tọa độ của vectơ là (– 1; 3) và .
+) Ta có và tọa độ của D(2; 5), tọa độ của vectơ chính là tọa độ của điểm D, do đó tọa độ của vectơ là (2; 5) và .
Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải:
a) Ta có: .
Vậy tọa độ của vectơ là (3; 0).
b) Ta có: .
Vậy tọa độ của vectơ là (0; – 1).
c) Ta có: .
Vậy tọa độ của vectơ là (1; – 4).
d) Ta có: .
Vậy tọa độ của vectơ là .
Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:
a) và ;
b) và .
Lời giải:
Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.
Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a ⇔ a + 2a = 3 ⇔ 3a = 3 ⇔ a = 1.
Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.
Vậy a = 1 và b = – 2.
a) Tìm toạ độ điểm M sao cho .
b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng .
Lời giải:
a) Ta có: . Do đó .
Gọi tọa độ điểm M(xM; yM), khi đó ta có .
.
Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).
b) + Gọi tọa độ điểm N(xN; yN).
Ta có: , .
Do N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên (hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau).
.
Vậy tọa độ của điểm N là .
+ Ta có: , do đó .
Lại có: , do đó .
Vậy .
Bài 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).
a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.
b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.
c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy
Lời giải:
a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.
Do đó .
Gọi tọa độ điểm A(a; b).
Ta có: ; (tọa độ vectơ chính là tọa độ điểm M).
Vậy tọa độ điểm A là A(1; – 3).
b) Vì điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B giữ nguyên và tung độ của điểm B đối nhau với trung độ của điểm M.
Vậy ta có tọa độ của B là B(– 1; – 3).
c) Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C giữ nguyên và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.
Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm C(xC; yC), tọa độ điểm D(xD; yD).
Khi đó ta có: , .
Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó
Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).
Ta có: , .
Vì ABCD là hình bình hành nên
Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).
Lời giải
Gọi tọa độ các điểm A(xA;yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Ta có: ,,,
, , .
+ M là trung điểm của BC nên (1)
+ N là trung điểm của AC nên (2)
+ P là trung điểm của AB nên (3)
Từ (2) và (3) suy ra: (4)
Từ (1) và (4) suy ra: .
Vậy tọa độ điểm C là (– 1; – 5).
Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: .
Do đó A(9; 3).
Thay tọa độ điểm C vào (1) ta được: .
Do đó B(3; 1).
Vậy A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng
Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Bài 3: Phương trình đường thẳng
Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng