Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3). a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Bài 2 trang 72 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Trả lời

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4-\left(-2\right);5-3\right)$, do đó $\overrightarrow{AB}=\left(6;2\right)$.

$\overrightarrow{AC}=\left(2-\left(-2\right);\left(-3\right)-3\right)$, do đó $\overrightarrow{AC}=\left(4;-6\right)$.

Vì $\frac{6}{4}\ne \frac{-3}{-6}$ nên $\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC}$.

Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G là

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{\left(-2\right)+4+2}{3}=\frac{4}{3}$,

 $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+5+\left(-3\right)}{3}=\frac{5}{3}$.

Vậy trọng tâm G có tọa độ là $\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(2-4;\left(-3\right)-5\right)$, do đó $\overrightarrow{BC}=\left(-2;-8\right)$.

$BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=2\sqrt{17}\approx 8$.

$AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\approx 6$.

$AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{13}\approx 7$.

Ta có: $\cos \widehat{BAC}=\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}$$=\frac{6.4+2.\left(-6\right)}{2\sqrt{10}.2\sqrt{13}}\approx \mathrm{0,26}$.

Suy ra $\widehat{BAC}=75°$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

cosB = $\frac{B{A}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2BA.BC}=\frac{{\left(2\sqrt{10}\right)}^2+{\left(2\sqrt{17}\right)}^2-{\left(2\sqrt{13}\right)}^2}{2.2\sqrt{10}.2\sqrt{17}}\approx \mathrm{0,54}$.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{B}=57°$.

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}=180°-75°-57°=48°$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn