Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3). a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C

Bài 3 trang 72 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3).

a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Trả lời

a) Gọi tọa độ các điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

M(2; 0) là trung điểm của BC nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_B+x_C}{2}=2\\ \frac{y_B+y_C}{2}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=4-x_C\\ y_B=-y_C\end{array}\right.$  (1)

N(4; 2) là trung điểm của cạnh AC nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_A+x_C}{2}=4\\ \frac{y_A+y_C}{2}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=8-x_C\\ y_A=4-y_C\end{array}\right.$   (2)

P(1; 3) là trung điểm của cạnh AB nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_A+x_B}{2}=1\\ \frac{y_A+y_B}{2}=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=2-x_B\\ y_A=6-y_B\end{array}\right.$   (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\left\{\begin{array}{l}8-x_C=2-x_B\\ 4-y_C=6-y_B\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=-6+x_C\\ y_B=2+y_C\end{array}\right.$   (4)

Từ (1) và (4) suy ra: $\left\{\begin{array}{l}-6+x_C=4-x_C\\ 2+y_C=-y_C\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x_C=10\\ 2y_C=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=5\\ y_C=-1\end{array}\right.$.

Do đó tọa độ điểm C là (5; – 1).

Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A=8-5=3\\ y_A=4-\left(-1\right)=5\end{array}\right.$.

Do đó A(3; 5).

Thay tọa độ điểm C vào (1) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=4-5=-1\\ y_B=-\left(-1\right)=1\end{array}\right.$.

Do đó B(– 1; 1).

Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(3; 5), B(– 1; 1), C(5; – 1).

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có tọa độ của G là

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{3+\left(-1\right)+5}{3}=\frac{7}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{5+1+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\end{array}\right.$ 

Do đó $G\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$ (1).

Gọi G' là trọng tâm của tam giác MNP, ta có tọa độ của G' là

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{G^{\text{'}}}=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}=\frac{2+4+1}{3}=\frac{7}{3}\\ y_{G^{\text{'}}}=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}=\frac{0+2+3}{3}=\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Do đó $G^{\text{'}}\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra G ≡ G'.

Vậy trọng tâm hai tam giác ABC và MNP trùng nhau.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn