Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = {\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) ; \(y'' = {\left( {\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^\prime } = 2.\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có \(y = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\) ; \(y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\)

\(y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\) ; \(y''' = 120{x^3} + 72x = 24\left( {5{x^2} + 3} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có \(y' = {\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)^\prime } = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\)

\(y'' = - \frac{{{{\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)}^\prime }}}{{2x + 5}} = - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }}}}{{2x + 5}} = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(y = x + \frac{1}{{x + 1}}\) \( \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) .

\( \Rightarrow y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( \Rightarrow {y^{\left( 3 \right)}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\) \( \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{24}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\) \( \Rightarrow {y^{(5)}} = - \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\).

\( \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\); \(y''' = - \frac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\); \({y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{24}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\);\({y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \[y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\] ; \[y'' = \frac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \[y' = 5{\left( {2x + 5} \right)^4} \cdot 2\]\[ = 10{\left( {2x + 5} \right)^4}\] ;\[y'' = 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\]; \[y'' = 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \[y' = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\]. \[y'' = - \frac{{2{\rm{cos}}x\left( { - {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x}} = \frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \[y' = {\rm{cos}}x = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\] ; \[y'' = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\pi + x} \right)\].

\[y''' = {\rm{cos}}\left( {\pi + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)\]; \[{y^{\left( 4 \right)}} = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {2\pi + x} \right)\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y = 2x - 1 + \frac{1}{{1 - x}}\) \( \Rightarrow y' = 2 + \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) ; \[y'' = \frac{2}{{{{(1 - x)}^3}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y' = - 2{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\). \[y'' = - 4{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]. \[y''' = 8{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]. \[{y^{\left( 4 \right)}} = 16{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]

Khi đó : \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) \[ \Leftrightarrow 16{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 8\] \[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\) .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = 2{\rm{cos2}}x\); \[y'' = - 4{\rm{sin2}}x\]. \[ \Rightarrow 4y + y'' = 0\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = \frac{1}{{{x^2}}}\); \[y'' = - \frac{2}{{{x^3}}}\]; \[y''' = \frac{6}{{{x^4}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Vì: \[{\left( {tanx} \right)^{\prime \prime }} = {\left( {\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^\prime }\]\[ = \frac{{ - 2{\rm{cos}}x \cdot \left( { - {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x}}\]\[ = \frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y = f\left( x \right)\)\( = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)\( = - x + \frac{2}{{x - 1}}\) \[ \Rightarrow y' = - 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]; \[y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\].

Vì: \(f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\) ; \(f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)\)\[ \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 6\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì: \(f'\left( x \right) = 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x{\rm{cos}}x + 2x\) ; \(f''\left( x \right) = 6{\rm{sin}}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x + 2\)\[ \Rightarrow f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì: \(f'\left( x \right) = 15{\left( {x + 1} \right)^2} + 4\) ; \(f''\left( x \right) = 30\left( {x + 1} \right)\)\[ \Rightarrow f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì: \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) ; \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) ; \(y''' = - \frac{6}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}}\)\[ \Rightarrow y'''\left( 1 \right) = - \frac{3}{8}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì: \(y' = 5a{\left( {ax + b} \right)^4}\) ; \(y'' = 20{a^2}{\left( {ax + b} \right)^3}\) ; \(y''' = 60{a^3}{\left( {ax + b} \right)^2}\) ; \({y^{\left( 4 \right)}} = 120{a^4}\left( {ax + b} \right)\) ; \({y^{\left( 5 \right)}} = 120{a^5}\) ; \({y^{\left( 6 \right)}} = 0\) \[ \Rightarrow {y^{\left( {10} \right)}} = 0\]. Do đó \({y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì: \(y' = 2{\rm{sin2}}x\left( {2{\rm{cos2}}x} \right) = 2{\rm{sin4}}x\); \(y'' = 8{\rm{cos4}}x\) ; \(y''' = - 32{\rm{sin4}}x\);

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = 2\cos 2x \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(y''' = - 8\cos 2x,{\rm{ }}{y^{(4)}} = 16\sin 2x\)

Suy ra \(y'''(\frac{\pi }{3}) = - 8\cos \frac{{2\pi }}{3} = 4;{\rm{ }}{y^{(4)}}(\frac{\pi }{4}) = 16\sin \frac{\pi }{2} = 16\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = 2\sin (2x + \frac{\pi }{2}),y'' = {2^2}\sin (2x + 2\frac{\pi }{2})\), \(y''' = {2^3}\sin (2x + 3\frac{\pi }{2})\)

Bằng quy nạp ta chứng minh \({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)

Với \(n = 1 \Rightarrow y' = {2^1}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\) đúng

Giả sử \({y^{(k)}} = {2^k}\sin (2x + k\frac{\pi }{2})\),

suy ra \({y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = {2^{k + 1}}\cos (2x + k\frac{\pi }{2}) = {2^{k + 1}}\sin \left( {2x + (k + 1)\frac{\pi }{2}} \right)\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)

\(y''' = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}\). Ta chứng minh \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)

\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) đúng

\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}\)

\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}},y'' = \frac{{{a^2}.2}}{{{{(ax + b)}^3}}},y''' = \frac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{(ax + b)}^4}}}\)

Ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)

\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{(ax + b)}^2}}} = - \frac{a}{{{{(ax + b)}^2}}}\) đúng

\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{(ax + b)}^{k + 1}}}}\)

\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!.\left[ {{{(ax + b)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(ax + b)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(2x + 1 = 7(x - 2) - 5(x - 3)\); \({x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Suy ra \(y = \frac{7}{{x - 3}} - \frac{5}{{x - 2}}\).

Mà \({\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}},{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\)

Nên \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right),y'' = {2^2}\cos \left( {2x + 2\frac{\pi }{2}} \right),\)

\(y''' = {2^3}\cos \left( {2x + 3\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }},y'' = - \frac{1}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} }},y''' = \frac{3}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^5}} }}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.3.5...(2n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n - 1}}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y = \frac{5}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 1}}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được: \({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:\(x = 3(x + 2) - 2(x + 3)\); \({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)

Suy ra \(y = \frac{3}{{x + 3}} - \frac{2}{{x + 2}}\).

Mà \({\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}}\)

Nên ta có: \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có :

\(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right),y'' = {2^2}\cos \left( {2x + 2\frac{\pi }{2}} \right),\)\(y''' = {2^3}\cos \left( {2x + 3\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\).