Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\cos \left( {\pi x} \right)}} = 2.\left( {\cos \left( {\pi x} \right)} \right)'.\frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2.\pi \frac{{\sin \left( {\pi x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\pi x} \right)}}\).

\(f'\left( 3 \right) = 2\pi .\frac{{\sin 3\pi }}{{{{\cos }^2}3\pi }} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = \left( {\cos 3x} \right)'\sin 2x + \cos 3x\left( {\sin 2x} \right)' = - 3\sin 3x.\sin 2x + 2\cos 3x.\cos 2x\).

\(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\sin 3\frac{\pi }{3}.\sin 2\frac{\pi }{3} + 2\cos 3\frac{\pi }{3}.\cos 2\frac{\pi }{3} = 1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = \frac{{\left( {\cos 2x} \right)'.\left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right)'}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2\sin 2x\left( {1 - \sin x} \right) + \cos 2x.cosx}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}}}\).

\[y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{{\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 4\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = - 2\sqrt 3 + \sqrt 3 = - \sqrt 3 \].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\cos \sqrt x - \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\cos \sqrt x - \sin \sqrt x } \right)\).

\(f'\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^2}} }}\left( {\cos \sqrt {{{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^2}} - \sin \sqrt {{{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^2}} } \right) = \frac{1}{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(y = \sqrt {\tan x + \cot x} \Rightarrow {y^2} = \tan x + \cot x \Rightarrow y'.2y = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{2\sqrt {\tan x + \cot x} }}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\).

\(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\tan \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4}} }}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {2 - 2} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(y = \frac{1}{{\sqrt {\sin x} }} \Rightarrow {y^2} = \frac{1}{{\sin x}} \Rightarrow y'2y = \frac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\).

\[ \Rightarrow y' = \frac{1}{{2y}}.\left( {\frac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right) = \frac{1}{{\frac{2}{{\sqrt {\sin x} }}}}\left( {\frac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right) = \frac{{ - \sqrt {\sin x} }}{2}.\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\].

\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{ - \sqrt {\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} }}{2}.\frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}} = \frac{{ - 1}}{2}.\frac{0}{1} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(f'\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)\).

\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 2\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\).

\(f'\left( 0 \right) = 4\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x\left( {1 - \sin x} \right) + {{\cos }^2}x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 - \sin x}}\).

\(y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{1 - \sin \frac{\pi }{6}}} = 2\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Suy ra 

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\cos x\sin x\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right) - 2\cos x\sin x{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{ - 2\cos x\sin x\left( {1 + {{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\cos x\sin x}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 8}}{9}\)

\(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) - 3f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(f'\left( x \right) = 3.5.\cos 5x.{\sin ^2}5x.{\cos ^2}\frac{x}{3} - {\sin ^3}5x \cdot \frac{2}{3} \cdot \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}\)

\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 - 1.\frac{{\sqrt 3 }}{{2.3}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{6} \cdot \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\[f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\left( {1 + 2\sin x} \right) - \cos x.2.\cos x}}{{{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}}} = \frac{{ - \sin x - 2}}{{{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5}}{8};f'\left( 0 \right) = - 2;f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{3};f'\left( \pi \right) = - 2\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \[y' = - \sqrt 2 .\frac{{{{\left( {\cos 3x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}3x}} = \frac{{3\sqrt 2 .\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\]. Do đó \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 2 .\sin \pi }}{{{{\cos }^2}\pi }} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = (\pi .\sin x)'.\cos (\pi .\sin x) = \pi .\cos x.\cos (\pi .\sin x)\)

\( \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \pi .\cos \frac{\pi }{6}.\cos \left( {\pi .\sin \frac{\pi }{6}} \right) = \pi .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos \left( {\pi .\frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 .\pi }}{2}.\cos \frac{\pi }{2} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\cos \sqrt x - \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x \] \[ \Rightarrow f'\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right) = 0\]

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \[f'\left( x \right) = - \frac{{2{{\left[ {\cot \left( {\pi x} \right)} \right]}^\prime }}}{{{{\cot }^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2\pi \frac{{1 + {{\cot }^2}\left( {\pi x} \right)}}{{{{\cot }^2}\left( {\pi x} \right)}}\] \( \Rightarrow f'\left( 3 \right) = 2\pi \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:\(f'\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right) \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 2\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{\rm{tan}}x + \cot x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{\rm{tan}}x + \cot x} }} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}{{2\sqrt {{\rm{tan}}x + \cot x} }} \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:\(f\left( x \right) = \cos 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = - 2\sin 2x\). Do đó \[f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 2\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x} \right) - (1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x)'cosx}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}} \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) - f'\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{4}{3}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(f'(x) = 2x \Rightarrow f'(1) = 2;\varphi '(x) = 4 + \frac{\pi }{2}\cos \frac{{\pi x}}{2} \Rightarrow \varphi '(0) = 4 + \frac{\pi }{2}\)

Suy ra \(\frac{{f'(1)}}{{\varphi '(0)}} = \frac{4}{{8 + \pi }}\).