Câu hỏi:
01/04/2024 59
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1x+2
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1x+2
A. y(n)=(1)n−1.3.n!(x+2)n+1
B. y(n)=(−1)n−1.n!(x+2)n+1
C. y(n)=(−1)n−1.3.n!(x−2)n+1
D. y(n)=(−1)n−1.3.n!(x+2)n+1
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}
y‴. Ta chứng minh {y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}
\bullet Với n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} đúng
\bullet Giả sử {y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}
\Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}
y‴. Ta chứng minh {y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}
\bullet Với n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} đúng
\bullet Giả sử {y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}
\Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Nếu f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} thì f\left( x \right) bằng
Nếu f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} thì f\left( x \right) bằng
Câu 4:
Cho hàm số y = {\left( {ax + b} \right)^5} với a, b là tham số. Khi đó :
Cho hàm số y = {\left( {ax + b} \right)^5} với a, b là tham số. Khi đó :
Câu 5:
Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}. Xét hai mệnh đề :
\left( I \right):y' = f'\left( x \right) = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1. \left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right) = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1.
Mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}. Xét hai mệnh đề :
Mệnh đề nào đúng?
Câu 6:
Cho hàm số f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}. Giá trị f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) bằng
Cho hàm số f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}. Giá trị f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) bằng
Câu 7:
Hàm số y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}} có đạo hàm cấp 2 bằng :
Hàm số y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}} có đạo hàm cấp 2 bằng :
Câu 14:
Hàm số y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} có đạo hàm cấp 5 bằng :
Hàm số y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} có đạo hàm cấp 5 bằng :
Câu 15:
Cho hàm số f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}. Giá trị f''\left( 0 \right) bằng
Cho hàm số f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}. Giá trị f''\left( 0 \right) bằng
