Câu hỏi:
01/04/2024 39
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)
A. \({y^{(n)}} = \frac{{{{(1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
B. \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
C. \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}\)
D. \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(y''' = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}\). Ta chứng minh \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(y''' = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}\). Ta chứng minh \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
Câu 4:
Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :
Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
\(\left( I \right):y' = f'\left( x \right)\)\( = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\). \(\left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right)\)\( = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).
Mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
Mệnh đề nào đúng?
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
Câu 7:
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
Câu 8:
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
Câu 13:
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
Câu 14:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
