Câu hỏi:
01/04/2024 79
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
A. \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} + \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\]
B. \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^n}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^n}}}\]
C. \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n - 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n - 1}}}}\]
D. \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\]
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:\(x = 3(x + 2) - 2(x + 3)\); \({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
Suy ra \(y = \frac{3}{{x + 3}} - \frac{2}{{x + 2}}\).
Mà \({\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}}\)
Nên ta có: \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:\(x = 3(x + 2) - 2(x + 3)\); \({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
Suy ra \(y = \frac{3}{{x + 3}} - \frac{2}{{x + 2}}\).
Mà \({\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}}\)
Nên ta có: \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
Câu 4:
Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :
Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
\(\left( I \right):y' = f'\left( x \right)\)\( = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\). \(\left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right)\)\( = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).
Mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
Mệnh đề nào đúng?
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
Câu 7:
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
Câu 12:
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
Câu 15:
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y'''(\frac{\pi }{3})\), \({y^{(4)}}(\frac{\pi }{4})\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y'''(\frac{\pi }{3})\), \({y^{(4)}}(\frac{\pi }{4})\)
