Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

HĐ 1 trang 34 Toán 8 Tập 1: Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính

$\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2$

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${\left(a+b\right)}^3$ và $a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$. 

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right).\left(a^2+2ab+b^2\right)=a.a^2+a.2ab+a.b^2+b.a^2+b.2ab+b.b^2\\ =a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3\\ =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$

Luyện tập 1 trang 35 Toán 8 Tập 1: 1. Khai triển:

a)      ${\left(x+3\right)}^3$

b)      ${\left(x+2y\right)}^3$

2. Rút gọn biểu thức ${\left(2x+y\right)}^3-8x^3-y^3$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lời giải:

1. 

a)      ${\left(x+3\right)}^3=x^3+3.x^2.3+3.x{.3}^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$

b)     ${\left(x+2y\right)}^3=x^3+3.x^2.2y+3.x.{\left(3y\right)}^2+{\left(3y\right)}^3=x^3+6x^{2}y+27x{y}^2+27y^3$

2. 

$\begin{array}{l}{\left(2x+y\right)}^3-8x^3-y^3={\left(2x\right)}^3+3.{\left(2x\right)}^2.y+3.2x.y^2+y^3-8x^3-y^3\\ =8x^2+12x^{2}y+6x{y}^2+y^3-8x^3-y^3\\ =\left(8x^2-8x^2\right)+12x^{2}y+6x{y}^2+\left(y^3-y^3\right)\\ =12x^{2}y+6x{y}^2\end{array}$

Luyện tập 2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức $x^3+9x^{2}y+27x{y}^2+27y^3$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lời giải:

$\begin{array}{l}{x}^3+9x^{2}y+27x{y}^2+27y^3\\ =x^3+3.x^2.3y+3.x.{\left(3y\right)}^2+{\left(3y\right)}^3\\ ={\left(x+3y\right)}^3\end{array}$

2. Lập phương của một hiệu

Bài 2.7 trang 36 Toán 8 Tập 1: Khai triển:

a)      ${\left(x^2+2y\right)}^3$;

b)      ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x-1\right)}^3$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{\left(x^2+2y\right)}^3={\left(x^2\right)}^3+3.{\left(x^2\right)}^2.2y+3.x^2.{\left(2y\right)}^2+{\left(2y\right)}^3\\ =x^6+6x^{4}y+12x^2{y}^2+8y^3\end{array}$

b)

${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x-1\right)}^3={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)}^3-3.{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)}^2.1+3.{\displaystyle \frac{1}{2}}x{.1}^2-1^3={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$

Bài 2.8 trang 36 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a)      $27+54x+36x^2+8x^3$.

b)      $64x^3-144x^{2}y+108x{y}^2-27y^3$.

Lời giải:

a)      $27+54x+36x^2+8x^3=3^3+{3.3}^2.2x+\mathrm{3.3.}{\left(2x\right)}^2+{\left(2x\right)}^3={\left(3+2x\right)}^3$

b)     $64x^3-144x^{2}y+108x{y}^2-27y^3={\left(4x\right)}^3-3.{\left(4x\right)}^2.3y+3.4x.{\left(3y\right)}^2-{\left(3y\right)}^3={\left(4x-3y\right)}^3$

Bài 2.9 trang 36 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a)      $x^3+9x^2+27x+27$ tại x=7.

b)      $27-54x+36x^2-8x^3$ tại x=6,5.

Lời giải:

a)      $x^3+9x^2+27x+27=x^3+3.x^2.3+3.x{.3}^2+3^3={\left(x+3\right)}^3$

Thay x=7 vào biểu thức ta được: ${\left(7+3\right)}^3={10}^3=1000$.

b)      $27-54x+36x^2-8x^3=3^3-{3.3}^2.2x+\mathrm{3.3.}{\left(2x\right)}^2-{\left(2x\right)}^3={\left(3-2x\right)}^3$

Thay x=6,5 vào biểu thức ta được: ${\left(3-2.6,5\right)}^3={\left(-10\right)}^3=-1000$.