Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

HĐ 1 trang 37 Toán 8 Tập 1: Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính

$\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3+b^3$ và $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$.

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\\ =a.a^2-a.ab+a.b^2+b.a^2-b.ab+b.b^2\\ =a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^2-a{b}^2+b^3\\ =a^3+b^3\end{array}$

Luyện tập 1 trang 38 Toán 8 Tập 1: 1. Viết $x^3+27$ dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức $x^3+8y^3-\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Lời giải:

1.

$x^3+27=x^3+3^3=\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)$

2.

$$\begin{gathered} x^3+8y^3-\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right) \\ =x^3+8y^3-\left[x^3+{\left(2y\right)}^3\right] \\ =x^3+8y^3-\left(x^3+8y^3\right)=0 \end{gathered}$$

2. Hiệu hai lập phương

HĐ 2 trang 38 Toán 8 Tập 1: Với hai số $a,b$ bất kì, viết $a-b=a+\left(-b\right)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $a^3+\left(-b^3\right)$.

Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3-b^3$ và $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A-AB+B^2\right)$

Lời giải:

$$\begin{gathered} a^3+\left(-b^3\right)=\left[a+\left(-b\right)\right]\left[a^2-a.\left(-b\right)+{\left(-b\right)}^2\right] \\ =\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) \end{gathered}$$

Từ đó ta có $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

Luyện tập 2 trang 39 Toán 8 Tập 1: 1. Viết đa thức $x^3-8$ dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức $\left(3x-2y\right)\left(9x^2+6xy+4y^2\right)+8y^3$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A+AB+B^2\right)$

Lời giải:

1. $x^3-8=x^3-2^3=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

2.

$\begin{array}{l}\left(3x-2y\right)\left(9x^2+6xy+4y^2\right)+8y^3\\ =\left(3x-2y\right)\left[{\left(3x\right)}^2+3x.2y+{\left(2y\right)}^2\right]+8y^3\\ ={\left(3x\right)}^3-{\left(2y\right)}^3+8y^3\\ =27x^3-8y^3+8y^3\\ =27x^3\end{array}$

Vận dụng trang 39 Toán 8 Tập 1: Giải quyết tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Lời giải:

$$\begin{gathered} x^6+y^6={\left(x^2\right)}^3+{\left(y^2\right)}^3 \\ =\left(x^2+y^2\right)\left[{\left(x^2\right)}^2-x^2.y^2+{\left(y^2\right)}^2\right] \\ =\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2{y}^2+y^4\right) \end{gathered}$$

Bài tập

Phương pháp giải

Phương pháp giải

Phương pháp giải

Bài 2.15 trang 39 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau:

$\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)+\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)+\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)\\ =x^3-{\left(2y\right)}^3+x^3+{\left(2y\right)}^3\\ =x^3-8y^3+x^3+8y^3\\ =2x^3\end{array}$